JavaScript is required

Câu hỏi:

Biết rằng \[\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = a\ln 2 + b\ln 5 + c\ln 7\] trong đó \[a,b,c \in \mathbb{Q}\]. Giá trị của biểu thức \[P = a + b + c\]

A.
\[\frac{4}{3}\].
B.
\[\frac{3}{2}\].
C.
\[\frac{5}{3}\].
D.
\[\frac{7}{6}\].
Trả lời:

Đáp án đúng: A


Ta có: $2x^2 - x - 1 = (2x+1)(x-1)$. Khi đó: $\frac{3x+1}{2x^2 - x - 1} = \frac{3x+1}{(2x+1)(x-1)} = \frac{A}{2x+1} + \frac{B}{x-1}$ $3x+1 = A(x-1) + B(2x+1)$ Chọn $x=1$ ta có $4 = 3B \Rightarrow B = \frac{4}{3}$ Chọn $x = -\frac{1}{2}$ ta có $-\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}A \Rightarrow A = \frac{1}{3}$ Vậy $\int\limits_2^3 {\frac{{3x + 1}}{{2{x^2} - x - 1}}{\rm{d}}x} = \int\limits_2^3 {\left( {\frac{1}{{3(2x + 1)}} + \frac{4}{{3(x - 1)}}} \right){\rm{d}}x} $ $= \frac{1}{6}\ln (2x+1) \Big|^3_2 + \frac{4}{3} \ln (x-1) \Big|^3_2$ $= \frac{1}{6} (\ln 7 - \ln 5) + \frac{4}{3} (\ln 2 - \ln 1) $ $= \frac{4}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 5 + \frac{1}{6}\ln 7$ Suy ra $a = \frac{4}{3}, b = -\frac{1}{6}, c = \frac{1}{6}$ $P = a+b+c = \frac{4}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{3}$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan