JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 1 + \frac{1}{x}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và hàm số \(g\left( x \right) = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4}\) có đồ thị \(\left( d \right)\) (xem hình bên).

c (ảnh 1)

a) \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = x - \ln \left| x \right| + C} \) với \(C\) là hằng số.

b) Nếu \(f\left( x \right)\) có một nguyên hàm là hàm số \(F\left( x \right)\)\(F\left( 1 \right) = 0\) thì \(F\left( 2 \right) = 1 + \ln 2\).

c) Hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), đồ thị \(\left( d \right)\) và các đường \(x = 1,x = 4\) có diện tích là \({S_1} = \frac{{15}}{8} - \ln 4\).

d) Nếu \({S_1},{S_2}\) lần lượt là diện tích hình phẳng \({H_1}\) (phần gạch chéo) và \({H_2}\) (hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\), trục hoành và các đường \(x = 1,x = 4\)) thì \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{5}{8}\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


a) $\int f(x) dx = \int (1 + \frac{1}{x}) dx = x + \ln|x| + C$. Vậy a) sai.
b) $F(x) = \int f(x) dx = x + \ln|x| + C$.
Vì $F(1) = 0$ nên $1 + \ln(1) + C = 0 \Rightarrow C = -1$.
Vậy $F(x) = x + \ln|x| - 1$.
Suy ra $F(2) = 2 + \ln(2) - 1 = 1 + \ln 2$. Vậy b) đúng.
c) Xét phương trình $f(x) = g(x) \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{x} = - \frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \Leftrightarrow 4x + 4 = -x^2 + 9x \Leftrightarrow x^2 - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee x = 4$.
Diện tích hình phẳng ${H_1}$ là: $S_1 = \int_1^4 |f(x) - g(x)| dx = \int_1^4 |1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}| dx = \int_1^4 |\frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - \frac{5}{4}| dx$
$= |\frac{x^2}{8} + \ln x - \frac{5}{4}x| |_1^4 = |(2 + \ln 4 - 5) - (\frac{1}{8} + 0 - \frac{5}{4})| = |-3 + \ln 4 + \frac{9}{8}| = |-\frac{15}{8} + \ln 4| = \frac{15}{8} - \ln 4$. Vậy c) đúng.
d) Diện tích hình phẳng ${H_2}$ là: $S_2 = \int_1^4 |f(x)| dx = \int_1^4 (1 + \frac{1}{x}) dx = (x + \ln x) |_1^4 = (4 + \ln 4) - (1 + 0) = 3 + \ln 4$.
Vậy $\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} \neq \frac{5}{8}$. Vậy d) sai.
Vậy chỉ có c) đúng.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan