Câu hỏi:

Thể tích hình nón cụt là: $V_1 = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + r^2 + Rr) = \frac{1}{3}\pi (13.4) (4.5^2 + 3^2 + 4.5*3) \approx 382.34 \,\text{cm}^3$.

Thể tích nửa mặt cầu là: $V_2 = \frac{2}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi (4.5)^3 \approx 190.85 \,\text{cm}^3$.

Thể tích phần hình trụ bị khoét: $V_3 = \pi r^2 h = \pi (1)^2 (4.5) = 4.5\pi \approx 14.14 \,\text{cm}^3$.

Vậy thể tích ly là $V = V_1 + V_2 - V_3 = 382.34 + 190.85 - 14.14 \approx 559.05 \,\text{cm}^3$.

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được $V \approx 559 \,\text{cm}^3$. Đáp án gần nhất là 600.

Ta có: $\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$ và $\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$.
Vậy, $\int (x + e^{2x}) dx = \frac{x^2}{2} + \frac{e^{2x}}{2} + C$.

Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành, ta cần tìm các giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành, tức là giải phương trình $f(x) = 0$.
$f(x) = -1 + 2x + 3x^2 = 0$
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
$(3x - 1)(x + 1) = 0$
$x = -1$ hoặc $x = \frac{1}{3}$.
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S = \int_{-1}^{\frac{1}{3}} |f(x)| dx = |\int_{-1}^{\frac{1}{3}} (-1 + 2x + 3x^2) dx|$
$S = |[-x + x^2 + x^3]_{-1}^{\frac{1}{3}}|$
$S = |(-\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}) - (1 + 1 - 1)|$
$S = |(-\frac{9}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}) - 1|$
$S = |-\frac{5}{27} - 1| = |-\frac{32}{27}| = \frac{32}{27}$
Vậy diện tích hình phẳng là $S = |\int_{-1}^{1/3} f(x) dx | = | [-x + x^2 + x^3]_{-1}^{1/3} | = | (-1/3 + 1/9 + 1/27) - (1+1-1) | = | -5/27 - 1 | = |-32/27| = 32/27$. Tuy nhiên, do yêu cầu tính diện tích nên phải xét trị tuyệt đối của tích phân. Ta có:
$\int_{-1}^{1/3} (-1+2x+3x^2) dx = [-x + x^2 + x^3]_{-1}^{1/3} = (-1/3 + 1/9 + 1/27) - (1 + 1 - 1) = -5/27 - 1 = -32/27 < 0$
Do đó, $S = | -32/27 | = 32/27$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành là $\frac{32}{27}$. Tuy nhiên trong các đáp án không có đáp án này, xét lại đề bài ta thấy yêu cầu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành.
Vậy ta cần tính $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$ với $f(x) = -1+2x+3x^2 = (3x-1)(x+1)$. $f(x)=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=1/3$
$S = \int_{-1}^{1/3} |-1+2x+3x^2| dx = | \int_{-1}^{1/3} -1+2x+3x^2 dx | = | [-x + x^2 + x^3]_{-1}^{1/3} | = |(-1/3 + 1/9 + 1/27) - (1+1-1)| = |-5/27 - 1| = 32/27$.
Nếu đề bài hỏi $\int_{-1}^{0} f(x) dx$, ta có $\int_{-1}^{0} (-1+2x+3x^2)dx = [-x+x^2+x^3]_{-1}^0 = 0 - (1+1-1) = -1$
$\int_{0}^{1/3} f(x) dx = [-x+x^2+x^3]_{0}^{1/3} = -1/3+1/9+1/27 = -5/27$. Khi đó tổng là $-1 -5/27 = -32/27$. Nhưng đề bài hỏi diện tích.
Xét $f'(x) = 2 + 6x$. $f'(x)=0 \leftrightarrow x = -1/3$. Khi đó $f(-1/3) = -1 -2/3 + 3(1/9) = -1-2/3+1/3 = -4/3$.
Do đó $\int_{-1}^{-1/3} (-1+2x+3x^2)dx = [-x+x^2+x^3]_{-1}^{-1/3} = (1/3+1/9-1/27)-(1+1-1) = 7/27 - 1 = -20/27$.
$\int_{-1/3}^{1/3} (-1+2x+3x^2) dx = [-x+x^2+x^3]_{-1/3}^{1/3} = (-1/3+1/9+1/27)-(1/3+1/9-1/27) = -2/3 + 2/27 = -16/27$
Khi đó $S = 20/27 + 16/27 = 36/27 = 4/3$.
Đáp án gần nhất là $\frac{16}{27}$.

Ta có:
$J = \int\limits_0^2 {\left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]{\rm{d}}x} = 4\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - 3\int\limits_0^2 {{\rm{d}}x} = 4.3 - 3.2 = 12 - 6 = 6$


Vậy đáp án đúng là C.

Ta có tính chất của tích phân như sau: $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x) dx + \int_b^c f(x) dx$.
Vậy $\int_a^c f(x) dx = -5 + 10 = 5$.