Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( 2;1;3 \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36,\) có tâm \(I\left( 3;2;5 \right)\) và bán kính R=6.
Ta có: \(\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow EI=\left| \overrightarrow{EI} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R.\) Do đó điểm E nằm trong mặt cầu \(\left( S \right).\)
Ta lại có: \(E\in \left( P \right)và \left\{ \begin{align} & E\in \Delta \\ & \Delta \subset \left( P \right) \\ \end{align} \right.\) nên giao điểm của \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( S \right)\) nằm trên đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) tâm K của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Giả sử \(\Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A;B \right\}\). Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( K\,,\,\Delta \right)\) lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên \(\left( \Delta \right)\) khi đó \(d\left( K;\Delta \right)=KF\le KE\).
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(F\equiv E.\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & IK\bot \left( P \right) \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IK\bot \Delta \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta \).
Ta có: \(\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\,,\,\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5\,;\,-5\,;\,0 \right)\), cùng phương với \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{align} & \Delta \subset \left( P \right) \\ & \Delta \bot IE \\ \end{align} \right.\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).
Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 3, đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB=2 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( A'BC \right)\) bằng
.png)
-
Cho \(\int\limits_{1}^{2}{\left[ 3f\left( x \right)-2x \right]dx}=6\). Khi đó \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}dx\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+2x}}\le 8\) là
-
Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+11x-2\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right].\) Giá trị của biểu thức A=2M-5m bằng?
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 2;3;5 là
-
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 3;4;-4 \right)\). Xét khối trụ \(\left( T \right)\) có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất, hai đáy của \(\left( T \right)\) nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là \(x+by+cz+{{d}_{1}}=0\) và \(x+by+cz+{{d}_{2}}=0\). Khi đó giá trị của biểu thức \(b+c+{{d}_{1}}+{{d}_{2}}\) thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+x-1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x-3\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau:
.png)
Kết luận nào sau đây đúng
-
Đồ thị của hàm số \(y=-{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+1\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
-
Có bao nhiêu số nguyên y trong đoạn \(\left[ -2021;2021 \right]\) sao cho bất phương trình \({{\left( 10x \right)}^{y+\frac{\log x}{10}}}\ge {{10}^{\frac{11}{10}\log x}}\) đúng với mọi x thuộc \(\left( 1;100 \right)\):
-
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-4x}{2x-1}\).
-
Cho hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên:
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
Công thức \(V\) của khối trụ có bán kính \(r\) và chiều cao \(h\) là
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left( -1;2;0 \right), \overrightarrow{b}=\left( 2;1;0 \right), \overrightarrow{c}=\left( -3;1;1 \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 2;4;1 \right),\,N\left( -2;2;-3 \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính MN là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) là một hàm đa thức có bảng xét dấu \({f}'\left( x \right)\) như sau
.png)
Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}}-\left| x \right| \right)\)
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y+4z-2=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{3}^{x}}\) là
-
Một hình trụ có bán kính đáy r=2cm và độ dài đường sinh l=5cm. Diện tích xung quanh của hình trụ đó là
