Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( 2;1;3 \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):2x+2y-z-3=0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36.\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-5 \right)}^{2}}=36,\) có tâm \(I\left( 3;2;5 \right)\) và bán kính R=6.
Ta có: \(\overrightarrow{EI}=\left( 1;1;2 \right)\Rightarrow EI=\left| \overrightarrow{EI} \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{6}<6=R.\) Do đó điểm E nằm trong mặt cầu \(\left( S \right).\)
Ta lại có: \(E\in \left( P \right)và \left\{ \begin{align} & E\in \Delta \\ & \Delta \subset \left( P \right) \\ \end{align} \right.\) nên giao điểm của \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( S \right)\) nằm trên đường tròn giao tuyến \(\left( C \right)\) tâm K của mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\), trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Giả sử \(\Delta \cap \left( S \right)=\left\{ A;B \right\}\). Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi \(d\left( K\,,\,\Delta \right)\) lớn nhất.
Gọi F là hình chiếu của K trên \(\left( \Delta \right)\) khi đó \(d\left( K;\Delta \right)=KF\le KE\).
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(F\equiv E.\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & IK\bot \left( P \right) \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\)
\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & IK\bot \Delta \\ & KE\bot \Delta \\ \end{align} \right.\Rightarrow IE\bot \Delta \).
Ta có: \(\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}\,,\,\overrightarrow{EI} \right]=\left( 5\,;\,-5\,;\,0 \right)\), cùng phương với \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{align} & \Delta \subset \left( P \right) \\ & \Delta \bot IE \\ \end{align} \right.\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)\).
Suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=2+t \\ & y=1-t \\ & z=3 \\ \end{align} \right.\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chu Văn An lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y=f'\left( x \right)\) là đường cong trong hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\) trên đoạn \(\left[ -3;3 \right]\) bằng
.PNG)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua \(A\left( 1;0;2 \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x-y+3z-7=0?\)
-
Thể tích của khối hộp chữ nhật có ba kích thước là 2;3;5 là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2y+4z-2=0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=-2{{x}^{3}}+x-1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
-
Một hộp đèn có 12 bóng, trong đó có 4 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng có 1 bóng hỏng.
-
Một khối chóp có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 6. Thể tích của khối chóp đó là
-
Cho a>0, \(a\ne 1\). Tính \({{\log }_{a}}\left( {{a}^{2}} \right)\).
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+2x}}\le 8\) là
-
Trong không gian Oxyz cho hai điểm \(A\left( 1;0;0 \right),B\left( 3;4;-4 \right)\). Xét khối trụ \(\left( T \right)\) có trục là đường thẳng AB và có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu đường kính AB. Khi \(\left( T \right)\) có thể tích lớn nhất, hai đáy của \(\left( T \right)\) nằm trên hai mặt phẳng song song lần lượt có phương trình là \(x+by+cz+{{d}_{1}}=0\) và \(x+by+cz+{{d}_{2}}=0\). Khi đó giá trị của biểu thức \(b+c+{{d}_{1}}+{{d}_{2}}\) thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho hàm số bậc bốn trùng phương \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Biết hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực trị tại ba điểm \({{x}_{1}},{{x}_{2}},\,{{x}_{3}}\,\,({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}})\) thỏa mãn \({{x}_{1}}+{{x}_{3}}=4\). Gọi \({{S}_{1}}\) và \({{S}_{2}}\) là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình. Tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.PNG)
-
Ông Bảo làm mái vòm ở phía trước ngôi nhà của mình bằng vật liệu tôn. Mái vòm đó là một phần của mặt xung quanh của một hình trụ như hình bên dưới. Biết giá tiền của 1\({{m}^{2}}\) tôn là 300.000 đồng. Hỏi số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) mà ông Bảo mua tôn là bao nhiêu ?
.png)
-
Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{1-4x}{2x-1}\).
-
Có 5 người đến nghe một buổi hòa nhạc. Số cách xếp 5 người này vào một hàng có 5 ghế là:
-
Cho hàm số \(y=g\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số \(y=g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho số phức z=-2+3i. Điểm biểu diễn của \(\overline{z}\) trên mặt phẳng tọa độ là
-
Phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 4\) có nghiệm là
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow{a}=\left( -1;2;0 \right), \overrightarrow{b}=\left( 2;1;0 \right), \overrightarrow{c}=\left( -3;1;1 \right)\). Tìm tọa độ của vectơ \(\vec{u}=\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 2;4;1 \right),\,N\left( -2;2;-3 \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính MN là
-
Cho hai số phức \(z=2-i;\text{w}=3+2i\). Số phức \(z+\text{w}\) bằng
