Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x \ge 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\) là

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình  \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( {3;3; - 2} \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;3;1} \right)\).Phương trình của d là

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - x} .\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng

Cho tập A có n phần tử. Biết rằng số tập con có 7 phần tử của A bằng hai lần số tập con có 3 phần tử của A.Hỏi n thuộc đoạn nào dưới đây?

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x và \(y = {e^x}\), trục tung và đường thẳng x = 1 được tính theo công thức 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(y = 3x + m\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x + m} \right)\) đồng biến trên R?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {a;b;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu?

Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có đường chéo \(AC' = \sqrt 6 \) bằng

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {3;3; - 2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{1};{d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{4}\). Đường thẳng d qua M cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 4;1;9} \right)\). Tọa độ của véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) là

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{2x + 1}} - {5.2^x} + 2 = 0\) bằng

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln x + \ln y \ge \ln \left( {{x^2} + y} \right)\) là các số thực dương thỏa mãn P = x + y

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} - 1} + 3{x^2} + 2}}{{{x^2} - x}}\) là

Biết rằng phương trình \(\log _{\sqrt 3 }^2x - m{\log _{\sqrt 3 }}x + 1 = 0\) có nghiệm duy nhất nhỏ hơn 1. Hỏi m thuộc đoạn nào dưới đây?

Với các số thực a, b> 0 bất kỳ, rút gọn biểu thức \(P = 2{\log _2}a = {\log _{\frac{1}{2}}}{b^2}\) ta được

Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc \(BAD = {60^ \circ },SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị \(\sin \alpha\) bằng

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \({4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt.