Cho hình chóp S.ABCD  có đáy ABCD là hình thoi tâm I, cạnh a, góc \(BAD = {60^ \circ },SA = SB = SD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SBC). Giá trị \(\sin \alpha\) bằng

Cho số phức 2 - 3i. Môđun của số phức \({\rm{w}} = \left( {1 + i} \right)z\) bằng

Cho hàm số \(y = {x^4} + 4{x^2} + 3.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh a. Thể tích khối trụ đó bằng

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Hàm số \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) nghịch biến trên khoảng

Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \({4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\) có bốn nghiệm phân biệt.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {3;3; - 2} \right)\) và hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{z}{1};{d_2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{4}\). Đường thẳng d qua M cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng

Biết phương trình \({z^2} + az + b = 0\left( {a,b \in R} \right)\) có một nghiệm là \(z = - 2 + i.\)Tính a + b

Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\log _2}x + {\log _3}x \ge 1 + {\log _2}x.{\log _3}x\) là

Thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có đường chéo \(AC' = \sqrt 6 \) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( {a;b;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z - 3 = 0\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho \(M\left( {3;4;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + 2z - 3 = 0\). Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P) là

Với các số thực a, b> 0 bất kỳ, rút gọn biểu thức \(P = 2{\log _2}a = {\log _{\frac{1}{2}}}{b^2}\) ta được

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right) = {t^2} + 10\left( {m/s} \right)\) với t là thời gian được tính bằng đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc \(200\left( {m/s} \right)\) thì nó rời đường bang. Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng

Cho đa giác đều 100 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác tù là

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Thể tích khối chóp S.ABC bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh \(AB = a,BC = 2a.\) Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right),SA = 2a.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC bằng

Tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {2 - {x^2}} - x\) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M và cách gốc tọa độ O một khoảng cách lớn nhất, mặt phẳng (P) cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C. Thể tích khối chóp O.ABC bằng