Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số \(m\) để hàm số\(y=\left| {{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20 \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{4}}-m{{x}^{2}}+3x-20\)
\({f}'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+8{{x}^{3}}-2mx+3\)
Ta thấy \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=-\infty \) nên hàm số \(y=\left| f\left( x \right) \right|\) nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) khi và chỉ khi hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\) và hàm số không dương trên miền \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f'\left( x \right) \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ f\left( { - 2} \right) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^4} + 8{x^3} - 2mx + 3 \ge 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ - 4m - 26 \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5{x^3} + 8{x^2} + \frac{3}{x} \le 2m{\rm{ }}\forall x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ m \ge - \frac{{13}}{2} \end{array} \right. \end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
\({g}'\left( x \right)=15{{x}^{2}}+16x-\frac{3}{{{x}^{2}}}={{\left( 2x+4 \right)}^{2}}+11{{x}^{2}}-16-\frac{3}{{{x}^{2}}}\)
Ta có \({{\left( 2x+4 \right)}^{2}}>0,\text{ }11{{x}^{2}}>44,\text{ }\frac{3}{{{x}^{2}}}<\frac{3}{4}\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)
Suy ra \({g}'\left( x \right)>0+44-16-\frac{3}{4}\text{ 0 }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)
Ta có bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(\left( -\infty ;-2 \right)\)
.PNG)
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(5{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+\frac{3}{x}\le 2m\text{ }\forall x\in \left( -\infty ;-2 \right)\)\( \Leftrightarrow -\frac{19}{2}\le 2m\)\( \Leftrightarrow m\ge -\frac{19}{4}.\)
Kết hợp với \(m\ge -\frac{13}{2}\) ta có \(m\ge -\frac{19}{4}.\)
Do đó \(m\in \left\{ -4;-3;-2;-1 \right\}\)
Suy ra có 4 giá trị nguyên âm thỏa mãn đề bài.
Chọn A
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Lam Sơn
Câu hỏi liên quan
-
Trên khoảng \(\left( 0;+\infty \right)\), đạo hàm của hàm số \(y={{x}^{e}}\) là?
-
Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao bằng \(3\) và đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 2. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( 3\,;-1\,\,;2 \right)\), \(B\left( 0\,;\,1\,;\,3 \right)\) và \(C\left( -1;\,1\,;1 \right)\). Đường thẳng đi qua \(C\) và song song với đường thẳng \(AB\) có phương trình là?
-
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\), \(BC=a,\ AC=2a,\ {A}'A=a\sqrt{3}\). Tính góc giữa mp \(\left( BCD'A' \right)\) và mp \(\left( ABCD \right)\)?
-
Cho hình trụ có bán kính \(R\) và chiều cao \(\sqrt{3}R\). Hai điểm \(A\), \(B\) lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa \(AB\) và trục \(d\) của hình trụ bằng \(30{}^\circ \). Tính k/c giữa \(AB\) và trục của hình trụ?
-
Diện tích xung quanh Sxq của hình nón có bán kính đáy \(r=5cm\) và độ dài đường sinh \(l=7cm\) bằng?
-
Tích các nghiệm của phương trình sau \(\log _{2}^{2}x-3{{\log }_{2}}x+2=0\) là?
-
Cho \(\int\limits_{2}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=10\). Tính giá trị của \(I=\int\limits_{2}^{4}{\left[ 3f\left( x \right)-5 \right]\text{d}x}\)?
-
Cho hàm số sau đây \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi \(F\left( x \right),G\left( x \right),H\left( x \right)\) là ba nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(F\left( 8 \right)+G\left( 8 \right)+H\left( 8 \right)=4\) và \(F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)+H\left( 0 \right)=1\). Khi đó \(\int\limits_{0}^{2}{f}\left( 4x \right)\text{d}x\) bằng?
-
Cho \(\int{\cos 3x.dx}=F\left( x \right)+C\). Khẳng định nào đúng?
-
Cho số phức sau \(z=-4+5i\). Biểu diễn hình học của \(z\) là điểm có tọa độ?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=9\) và \(\left( S' \right):\,\,{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4\). Khẳng định nào đúng?
-
Cho hàm số \(y=\frac{ax+b}{cx+d}\) có đồ thị là đường cong trong hình. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là?
-
Phần thực của số phức sau đây \(z=4-2i\) bằng?
-
Tập nghiệm của bất phương trình sau \(lo{{g}_{2}}\left( x+1 \right)<3\) là?
-
Giả sử \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đường parabol \(y={{x}^{2}}-3x+2\) và trục hoành. Quay \(D\) quanh trục hoành ta thu được khối tròn xoay có thể tích V bằng?
-
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-i \right|=\left| \left( 1+i \right)z \right|\) là 1 đường tròn, tâm của đường tròn đó có tọa độ là?
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( 2;\,0;\,-1 \right)\), \(B\left( 1;\,-2;\,3 \right)\), \(C\left( 0;\,1;\,2 \right)\). Tìm tọa độ điểm \({O}'\) là điểm đối xứng với gốc tọa độ \(O\) qua mặt phẳng \(\left( ABC \right)\)?
-
Cho hàm số bậc 3 \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
.PNG)
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên\((x,y)\) thỏa mãn \({{2}^{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1}}\le \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2 \right){{.4}^{x}}\)?
