Cho số phức z thay đổi thỏa mãn \(\left| z-1 \right|+\left| z-i \right|=4\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường cong tạo bởi tất cả các điểm biểu diễn số phức \(\left( z-2i \right)\left( 2i+1 \right)\) khi z thay đổi. Tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(\left( C \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left( {z - 2i} \right)\left( {2i + 1} \right) = x + yi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} z - 2i = \frac{{x + yi}}{{2i + 1}} \Rightarrow z - i = \frac{{x - 2 + \left( {y + 1} \right)i}}{{2i + 1}}\\ z - 1 = \frac{{x + yi}}{{2i + 1}} + 2i - 1 = \frac{{x - 5 + yi}}{{2i + 1}} \end{array} \right.\)
Ta có: \(\left| {z - 1} \right| + \left| {z - i} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 5} \right)}^2} + {y^2}} = 4\sqrt 5 \) (1)
Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức \(\left( {z - 2i} \right)\left( {2i + 1} \right)\) khi z thay đổi.
\({F_1}\left( {2; - 1} \right),{F_2}\left( {5;0} \right)\).
Từ (1) ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 4\sqrt 5 \).
Do đó quỹ tích điểm M là elip nhận \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm.
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4\sqrt 5 = 2a \Rightarrow a = 2\sqrt 5 \\ {F_1}{F_2} = 2c = \sqrt {10} \Rightarrow c = \frac{{\sqrt {10} }}{2} \end{array} \right. \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \frac{{\sqrt {70} }}{2}\)
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là \({S_{\left( C \right)}} = \pi ab = 5\pi \sqrt {14} \).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} - 4{\log _2}x + 3 > 0\) là:
-
Trong mặt phẳng tọa độ, điểm M(3;6) biểu diễn của số phức nào sau đây?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=36\). Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \(\left( S \right)\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
-
Cho \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=3}\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( 2x \right)dx=4}\). Tính \(\int\limits_{0}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}\)
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa \({A}'C\) và \(\left( AD{D}'{A}' \right)\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z\left( 1+i \right)=3-5i\). Tính module của z.
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-2z-1=0\), \(\left( Q \right):2x+2y-4z+7=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) cách đều hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d có phương trình là:
-
Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước \(12m\,\times \,6m\) như hình vẽ. Một nhóm học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của tấm bạt sát đất và cách nhau \(x\,\,\,(m)\) (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là lớn nhất
.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=-5, \int\limits_{1}^{3}{\left[ f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right]\text{d}x}=9\). Tính \(\int\limits_{1}^{3}{g\left( x \right)\text{d}x}\).
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{{2022}}} \right)^x}\)
-
Cho hàm số \(y = {x^2}{e^{ - x}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
Cho a là số thực dương khác 4. Giá trị của \({{\log }_{\frac{a}{4}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{64} \right)\) bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {e^x} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 0\\ - {x^3} + bx\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 0 \end{array} \right.\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\). Tích phân \(I = \int\limits_{\ln \left( {\frac{e}{{e + 1}}} \right)}^{ - \ln \left( {e + 1} \right)} {\frac{1}{{1 + a{e^x}}}f\left( {\ln \left( {b{e^{ - x}} + a} \right)} \right)dx} = m - ne\). Giá trị của \(P = 2m + \frac{n}{2}\) bằng
-
Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) và \(g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)\) cùng với x=-1;x=1 là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y=g(x). Khi đó số điểm cực trị của hàm y=g(x) là
-
Gọi \(l,h,r\) lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Công thức đúng là:
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên dưới?
.jpg.png)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=-2, {{u}_{6}}=8\). Tìm công sai d của cấp số cộng đó.
