Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng \((ABCD),SA = AB = a,AD = 3a\). Gọi M là trung điểm của BC. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (SDM).

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oyz) có phương trình là

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + ({m^2} - m + 1)x + {m^3} - 4{m^2} + m + 2025\) trên đoạn [0;2] bằng 2019.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm G(1;2;3). Gọi \((P):px + qy + rz + 1 = 0(p,q,r \in R)\)  là mặt phẳng qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính \(T=p+q+r\)

Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) = 4x\left( {1 + \ln x} \right)\) và \(F\left( 1 \right) = 5\). Tính \(F\left( e \right)\).

Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 3\) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x}  = 7\), khi đó \(\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;2;1),B(2; - 1;3)\). \(M(a;b;c)\) là điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho \(M{A^2} - 2M{B^2}\) lớn nhất . Tính \(P = a + b + c\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^4}\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 10x + m} \right)\) với mọi \(x \in R\). Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn \(\left[ {0;\,1890} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {4 - x} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;\,1} \right)\)?

Một bình đựng đầy nước có dạng hình nón (không có đáy). Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi \left( {d{m^3}} \right)\). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình dưới đây). Tính thể tích nước còn lại trong bình.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) là:

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là :

Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Diện tích xung quanh hình nón bằng

Thể tích của khối lập phương cạnh \(3a\) bằng:

Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f\left( 3 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = 3{x^2}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\) với mọi \(x \in R\). Giá trị của \(f\left( 1 \right)\) bằng

Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết \(AC = 2a\sqrt 2 \) và \(\widehat {ACB} = {45^0}\). Diện tích toàn phần \(S_{tp}\) của hình trụ (T) là

Với \(k\) và \(n\) là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k \le n\). Mệnh đề nào dưới đây Sai ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \((S):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 27\). Gọi \((\alpha )\)  là mặt phẳng đi qua hai điểm \(A(0;0; - 4),B(2;0;0)\) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C)  sao cho khối nón có đỉnh là tâm của (S) và đáy là đường tròn (C) có thể tích lớn nhất . Biết rằng \((\alpha ):ax + by - z + c = 0\) . Tính \(P = a - b + c\)

Tập nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 1\) là

Ông A vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 4 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số tiền mỗi tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 4\) là:

Cho hàm số \(y = \frac{{2019 + \sqrt {6x - {x^2}} }}{{{x^2} - 4x + 4m}}\) có đồ thị \((C_m)\) . Tìm tập hợp S tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để  \((C_)m)\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.