Trước cuộc bầu cử ứng cử viên A tuyên bố sẽ được 55% cử tri ủng hộ. Thăm dò ý kiến của 200 cử tri thì có 102 người cho biết sẽ bỏ phiếu cho A. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra dự đoán của A.

Để tính phương sai mẫu \(s_X^2\), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính trung bình mẫu \(\bar{X}\):

\(\bar{X} = \frac{152 + 167 + 159 + 171 + 162 + 158 + 156 + 165 + 166}{9} = \frac{1456}{9} \approx 161.78\)

2. Tính tổng bình phương độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình mẫu:

\(\sum_{i=1}^{9} (X_i - \bar{X})^2 = (152-161.78)^2 + (167-161.78)^2 + (159-161.78)^2 + (171-161.78)^2 + (162-161.78)^2 + (158-161.78)^2 + (156-161.78)^2 + (165-161.78)^2 + (166-161.78)^2 \approx 8\)

\(= 95.6484 + 27.2484 + 7.7284 + 84.9024 + 0.0484 + 14.2884 + 33.4084 + 10.3684 + 17.8084 = 291.44\)

3. Tính phương sai mẫu \(s_X^2\):

\(s_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{9} (X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{291.44}{9-1} = \frac{291.44}{8} = 36.43\)

Phương sai mẫu gần đúng là 36.43 cm². Trong các đáp án, 36,944 là gần nhất, có thể do sai số làm tròn trong quá trình tính toán.

Biến cố \({A_2}\overline A \) có nghĩa là có 2 sinh viên thi đỗ và sinh viên A thi trượt (hỏng). Do đó, phát biểu chính xác nhất là "Có 2 sinh viên thi đỗ", vì nó bao hàm cả việc A trượt và có đúng 2 người đỗ.

Phân tích bài toán:

1. Không gian mẫu: Chọn 5 bi từ 10 bi, chia đều vào 2 phần.
2. Biến cố cần tính: Mỗi phần có 2 bi đỏ và 3 bi xanh.

Lời giải chi tiết:

1. Tính số phần tử của không gian mẫu: \(|\Omega| = C_{10}^5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\)
2. Tính số cách chọn 2 bi đỏ từ 4 bi đỏ và 3 bi xanh từ 6 bi xanh: \(n(A) = C_4^2 \cdot C_6^3 = \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{6!}{3!3!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \cdot 20 = 120\)
3. Xác suất cần tìm: \(P(A) = \frac{n(A)}{|\Omega|} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}\)

Vậy xác suất để mỗi phần đều có cùng số bi đỏ và bi xanh là \(\frac{10}{21}\).