Một hộp bi gồm 4 bi đỏ và 6 bi xanh (cùng kích cỡ) được chia thành hai phần bằng nhau. Xác suất để mỗi phần đều có cùng số bi đỏ và bi xanh.

Gieo 5 lần một đồng xu cân đối đồng chất. Xác suất để có ít nhất 1 lần mặt sấp.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A là biến cố "Gieo 5 lần một đồng xu cân đối đồng chất có ít nhất 1 lần mặt sấp".
Khi đó, biến cố đối của A là \(\overline{A}\) : "Gieo 5 lần một đồng xu cân đối đồng chất không có lần nào mặt sấp", hay "Gieo 5 lần một đồng xu cân đối đồng chất cả 5 lần đều là mặt ngửa".
Xác suất để khi gieo một đồng xu cân đối đồng chất được mặt ngửa là 1/2.
Vậy \(P(\overline{A}) = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}\)
Suy ra \(P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}\)

Câu 5:

Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp xếp chỗ ngồi nếu: Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xem nam sinh là một khối, nữ sinh là một khối: Vì các nam sinh phải ngồi kề nhau và các nữ sinh cũng phải ngồi kề nhau, ta xem 6 nam sinh là một khối và 4 nữ sinh là một khối.

2. Hoán vị hai khối: Có 2! = 2 cách hoán vị hai khối này (khối nam sinh trước, khối nữ sinh sau hoặc ngược lại).

3. Hoán vị các nam sinh trong khối nam sinh: Có 6! = 720 cách hoán vị 6 nam sinh trong khối của họ.

4. Hoán vị các nữ sinh trong khối nữ sinh: Có 4! = 24 cách hoán vị 4 nữ sinh trong khối của họ.

5. Tính tổng số cách: Nhân tất cả các kết quả trên lại với nhau để được tổng số cách sắp xếp: 2! * 6! * 4! = 2 * 720 * 24 = 34560

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả tính toán được. Xem xét lại đề bài và các đáp án, có vẻ như đề bài hoặc các đáp án có vấn đề. Nếu đề bài yêu cầu một điều kiện khác (ví dụ: chỉ cần nam sinh ngồi cạnh nhau, hoặc chỉ cần nữ sinh ngồi cạnh nhau), thì cách giải sẽ khác. Với điều kiện đề bài đưa ra (cả nam và nữ đều ngồi kề nhau), không có đáp án nào phù hợp.

Vì không có đáp án nào phù hợp, ta sẽ chọn đáp án gần nhất, hoặc nếu có thêm thông tin, ta có thể điều chỉnh cách giải. Trong trường hợp này, không có đáp án "gần nhất" một cách hợp lý, và không có thông tin để điều chỉnh. Do đó, theo đúng quy tắc, ta vẫn phải tuân thủ đề bài và chỉ ra đáp án đúng nếu có.

Câu 6:

Công thức nào cho kết quả bằng 45?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần tính giá trị của từng biểu thức và so sánh với 45.

* Phương án 1: 3 10C
* Đây có thể là một cách ký hiệu không chuẩn. Giả sử nó có nghĩa là "3 nhân với tổ hợp chập 10 của C", thì cần biết C là gì. Nếu C là một hằng số nào đó mà 3 * 10 * C = 45 thì phương án này đúng. Tuy nhiên, cách viết này không rõ ràng và không phổ biến.
* Phương án 2: 3 10A
* Tương tự như trên, nếu A là một hằng số nào đó mà 3 * 10 * A = 45 thì phương án này đúng. Tuy nhiên, cách viết này không rõ ràng và không phổ biến.
* Phương án 3: 10! 8!2!
* Đây có thể là một ký hiệu viết tắt, hoặc có thể là một phép chia: 10! / (8! * 2!). Tính toán: 10! / (8! * 2!) = (10 * 9 * 8!) / (8! * 2 * 1) = (10 * 9) / 2 = 90 / 2 = 45. Vậy biểu thức này bằng 45.
* Phương án 4: 5!3!
* Đây có thể là một ký hiệu viết tắt, hoặc có thể là phép nhân: 5! * 3! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) * (3 * 2 * 1) = 120 * 6 = 720. Vậy biểu thức này không bằng 45.

Vậy, phương án 3 cho kết quả bằng 45.

Câu 7:

Một đề thi gồm có 3 câu hỏi được chọn ngẫu nhiên từ ngân hàng 50 câu hỏi. Có thể lập được bao nhiêu đề thi khác nhau?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Câu hỏi này liên quan đến tổ hợp, vì thứ tự chọn câu hỏi không quan trọng. Ta cần chọn 3 câu hỏi từ 50 câu hỏi, vậy số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 50, ký hiệu là C(50, 3) hay 50C3.

Câu 8:

Tổ 1 có 5 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam. Chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên đi dự đại hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Tổng số sinh viên của tổ 1 là 5 (nữ) + 6 (nam) = 11 sinh viên.

Đề bài yêu cầu chọn ngẫu nhiên 2 sinh viên từ 11 sinh viên này. Đây là bài toán tổ hợp chập 2 của 11, tức là số cách chọn 2 sinh viên từ 11 sinh viên mà không quan tâm đến thứ tự.

Số cách chọn được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) , trong đó n là tổng số phần tử và k là số phần tử được chọn.

Trong trường hợp này, n = 11 và k = 2. Vậy, số cách chọn là:
C(11, 2) = 11! / (2! * 9!) = (11 * 10) / (2 * 1) = 55.

Vậy, có 55 cách chọn 2 sinh viên từ 11 sinh viên.

Câu 9:

Có 3 nhóm sinh viên, nhóm I có 10 sinh viên, nhóm II có 20 sinh vien, nhóm III có 30 sinh viên. Giảng viên cần chọn 1 sinh viên trong 3 nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải: