Trong 10 sản phẩm có 2 phế phẩm. Lấy ra ngẫu nhiên 2 sản phẩm (lấy có hoàn lại). Xác suất để cả 2 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm.

Đây là bài toán về phân phối nhị thức. Gọi X là số câu trả lời đúng của thí sinh. X tuân theo phân phối nhị thức B(10, 1/4) vì có 10 câu hỏi độc lập, mỗi câu có xác suất trả lời đúng là 1/4. Để thi đạt, thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 8 câu. Vậy, ta cần tính P(X >= 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10).

P(X = k) = C(10, k) * (1/4)^k * (3/4)^(10-k), trong đó C(10, k) là tổ hợp chập k của 10.

P(X = 8) = C(10, 8) * (1/4)^8 * (3/4)^2 = 45 * (1/4)^8 * (9/16)
P(X = 9) = C(10, 9) * (1/4)^9 * (3/4)^1 = 10 * (1/4)^9 * (3/4)
P(X = 10) = C(10, 10) * (1/4)^10 * (3/4)^0 = 1 * (1/4)^10

P(X >= 8) = 45 * (1/4)^8 * (9/16) + 10 * (1/4)^9 * (3/4) + (1/4)^10 = (1/4)^10 * (45 * 9 * 4^2 + 10 * 3 * 4 + 1) = (1/4)^10 * (45 * 9 * 16 + 120 + 1) = (1/4)^10 * (6480 + 120 + 1) = 6601 / 4^10 = 6601 / 1048576 ≈ 0.006295

Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với con số này. Có lẽ có một sai sót trong đề bài hoặc các đáp án. Nếu ta giả sử xác suất trả lời đúng mỗi câu là 1/2 thay vì 1/4 (ví dụ, mỗi câu có 2 lựa chọn thay vì 4), thì ta sẽ có:

P(X = 8) = C(10, 8) * (1/2)^8 * (1/2)^2 = 45 * (1/2)^10
P(X = 9) = C(10, 9) * (1/2)^9 * (1/2)^1 = 10 * (1/2)^10
P(X = 10) = C(10, 10) * (1/2)^10 * (1/2)^0 = (1/2)^10

P(X >= 8) = (1/2)^10 * (45 + 10 + 1) = 56 / 1024 = 7 / 128 ≈ 0.0547. Kết quả này vẫn không khớp với bất kỳ đáp án nào.

Tuy nhiên, xét theo các đáp án có sẵn, đáp án gần đúng nhất là 0.004. Có thể đây là một lỗi đánh máy của đề bài.

Người thứ nhất đã bốc 1 vé trúng thưởng, vậy còn lại 9 vé, trong đó có 2 vé trúng thưởng. Do đó, xác suất để người thứ hai bốc được vé trúng thưởng là 2/9.

Gọi X là số gà đẻ trứng trong một ngày. X tuân theo phân phối nhị thức B(6; 0,6).

Xác suất để có ít nhất 1 con gà đẻ là 1 trừ đi xác suất không có con nào đẻ.

P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)

P(X = 0) = C(6,0) * (0,6)^0 * (1 - 0,6)^6 = (0,4)^6 = 0,004096

P(X >= 1) = 1 - 0,004096 = 0,995904

Vậy xác suất để có ít nhất một con gà đẻ trong một ngày là 0,9959 (làm tròn đến 4 chữ số thập phân).

Vì có 5 sinh viên nữ và 6 sinh viên nam, và ta chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên bất kỳ, nên số cách chọn là tổng số sinh viên nữ và sinh viên nam. Vậy có 5 + 6 = 11 cách chọn.

Đây là bài toán về chỉnh hợp chập 2 của 10. Ta cần chọn 2 bạn từ 10 bạn và sắp xếp thứ tự, nên số cách là A(2, 10) = 10! / (10-2)! = 10! / 8! = 10 * 9 = 90.