Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.

Để đi từ A đến D, ta có các lựa chọn sau: * A -> B -> C -> D: Có 3 * 2 * 1 = 6 cách * A -> B -> D: Có 3 * 3 = 9 cách * A -> C -> D: Có 2 * 1 = 2 cách * A -> D: Có 4 cách Vậy tổng số cách đi từ A đến D là 6 + 9 + 2 + 4 = 21 cách. Để đi từ D về A, ta cũng có 21 cách (tương tự như trên). Vậy số cách đi từ A đến D rồi quay lại A là 21 * 21 = 441 cách. Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có lẽ đề bài hoặc hình vẽ có sai sót. Nếu các đoạn đường là một chiều thì đáp án sẽ khác, hoặc nếu có thêm đường đi khác thì kết quả cũng khác. Tuy nhiên, giả sử đề bài yêu cầu đi từ A đến D *và* quay lại A theo *đúng* con đường vừa đi (ví dụ, nếu đi A->B->C->D thì phải quay lại D->C->B->A), thì: * A -> B -> C -> D -> C -> B -> A: 6 * 1 = 6 cách (chỉ có 1 cách quay lại) * A -> B -> D -> B -> A: 9 * 1 = 9 cách * A -> C -> D -> C -> A: 2 * 1 = 2 cách * A -> D -> A: 4 * 1 = 4 cách Tổng cộng: 6 + 9 + 2 + 4 = 21 cách. Nếu đề bài yêu cầu số cách đi từ A đến D *bất kỳ* rồi quay lại A *bất kỳ* (không nhất thiết đi lại đường cũ), thì số cách sẽ là 21 * 21 = 441, như đã tính ở trên. Nhận thấy không có đáp án nào gần với các kết quả tính toán trên. Tuy nhiên, nếu giả sử có sự nhầm lẫn và mỗi đoạn đường chỉ có một cách đi (tức là từ A đến B chỉ có 1 cách, không phải 3), thì số cách đi từ A đến D sẽ là: * A -> B -> C -> D: 1 * 1 * 1 = 1 cách * A -> B -> D: 1 * 1 = 1 cách * A -> C -> D: 1 * 1 = 1 cách * A -> D: 1 cách Tổng số cách đi từ A đến D là 1 + 1 + 1 + 1 = 4 cách. Số cách đi từ D về A cũng là 4 cách. Vậy số cách đi từ A đến D rồi quay lại A là 4 * 4 = 16 cách. Tuy nhiên, vẫn không có đáp án đúng. Vì không thể xác định được đáp án chính xác do sự thiếu rõ ràng hoặc sai sót trong đề bài và hình vẽ, nên không thể chọn một đáp án đúng.

Để lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ta xét các trường hợp sau: * **Trường hợp 1:** Chữ số hàng đơn vị là 1, 3, hoặc 5. Có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị. * Chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn (khác 0 và khác chữ số hàng đơn vị). * Chữ số hàng chục có 4 cách chọn (khác các chữ số đã chọn). * Chữ số hàng trăm có 3 cách chọn (khác các chữ số đã chọn). * Vậy có 3 * 4 * 4 * 3 = 144 số. Vậy có tổng cộng 144 số thỏa mãn.

Bài toán yêu cầu tính số cách sắp xếp 5 bạn học sinh vào một ghế dài 5 chỗ sao cho An và Dũng luôn ngồi ở hai đầu ghế. Bước 1: Xác định số cách xếp An và Dũng vào hai đầu ghế. Có 2 cách, hoặc An ngồi đầu ghế bên trái và Dũng ngồi đầu ghế bên phải, hoặc ngược lại. Bước 2: Sau khi An và Dũng đã ngồi vào hai đầu ghế, còn lại 3 bạn (Bình, Chi, Lệ) và 3 chỗ ngồi. Số cách xếp 3 bạn này vào 3 chỗ là 3! = 3 * 2 * 1 = 6 cách. Bước 3: Nhân số cách ở bước 1 và bước 2 lại, ta được tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 2 * 6 = 12 cách. Vậy đáp án đúng là 12.

Để giải bài toán này, ta xem tập 1 và tập 2 như một phần tử duy nhất. Khi đó, ta có 19 phần tử cần sắp xếp (18 cuốn sách còn lại và một 'cụm' gồm tập 1 và tập 2). Có 19! cách để sắp xếp 19 phần tử này. Tuy nhiên, trong mỗi cách sắp xếp, tập 1 và tập 2 có thể đổi chỗ cho nhau, tức là có 2! cách sắp xếp tập 1 và tập 2 trong 'cụm' của chúng. Vậy, tổng số cách sắp xếp là 19! * 2!. Không có đáp án nào trùng khớp với kết quả tính toán 19! * 2!. Tuy nhiên, ta có thể biến đổi biểu thức: 19! * 2! = 2 * 19! Đáp án gần nhất là 20! - 19! nhưng biểu thức này có thể được viết là: 20! - 19! = 20 * 19! - 19! = 19! * (20 - 1) = 19! * 19, không phù hợp. Vì vậy, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Đây là bài toán về chỉnh hợp. Ta cần chọn 3 lọ trong 5 lọ để cắm hoa và có sự phân biệt thứ tự (vì các bông hoa khác nhau). Số cách thực hiện là chỉnh hợp chập 3 của 5, ký hiệu là A(5,3). Công thức tính chỉnh hợp chập k của n là: A(n, k) = n! / (n - k)! Trong trường hợp này, A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 5 * 4 * 3 = 60. Vậy, có 60 cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau.