Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại. Xác suất để trong mỗi phút mỗi máy gọi đến tổng đài là 0,02. Số máy gọi đến tổng đài trung bình trong 1 phút.

Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6, mỗi giá trị có xác suất 1/6.

Giá trị kỳ vọng của X là:
E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 7/2

Phương sai của X là:
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
E(X^2) = (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2)/6 = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6

D(X) = 91/6 - (7/2)^2 = 91/6 - 49/4 = (182 - 147)/12 = 35/12

Xác suất mưa vào ngày 1 tháng 5 là 1/7. Trong 40 năm, số ngày mưa dự kiến là (1/7) * 40 = 40/7 ≈ 5.71. Vì số ngày mưa phải là một số nguyên, ta làm tròn số này. Trong trường hợp này, 5 và 6 là các lựa chọn gần nhất. Tuy nhiên, câu hỏi yêu cầu 'số chắc chắn nhất', nghĩa là giá trị kỳ vọng. Giá trị 5.71 gần 6 hơn, nhưng theo quy tắc làm tròn số thông thường, ta làm tròn thành 6. Dựa trên các đáp án được cung cấp, 6 là đáp án gần nhất với kết quả tính toán được.

Đây là bài toán ứng dụng phân phối nhị thức. Gọi X là số khách đến nhận phòng. Ta có X tuân theo phân phối nhị thức với n = 585 và p = 1 - 0.15 = 0.85. Ta cần tính P(494 ≤ X ≤ 499).

P(494 ≤ X ≤ 499) = P(X = 494) + P(X = 495) + P(X = 496) + P(X = 497) + P(X = 498) + P(X = 499).

Với P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), trong đó C(n, k) là tổ hợp chập k của n.

Tính toán từng thành phần:
P(X = 494) = C(585, 494) * 0.85^494 * 0.15^(585-494)
P(X = 495) = C(585, 495) * 0.85^495 * 0.15^(585-495)
P(X = 496) = C(585, 496) * 0.85^496 * 0.15^(585-496)
P(X = 497) = C(585, 497) * 0.85^497 * 0.15^(585-497)
P(X = 498) = C(585, 498) * 0.85^498 * 0.15^(585-498)
P(X = 499) = C(585, 499) * 0.85^499 * 0.15^(585-499)

Tuy nhiên, việc tính toán trực tiếp các giá trị này là rất phức tạp và cần sử dụng máy tính hoặc phần mềm thống kê. Để đơn giản, ta có thể sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn.

Trung bình: μ = n * p = 585 * 0.85 = 497.25
Độ lệch chuẩn: σ = sqrt(n * p * (1-p)) = sqrt(585 * 0.85 * 0.15) ≈ 8.66

Sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn, ta có thể tính P(494 ≤ X ≤ 499) ≈ P(493.5 < Y < 499.5), với Y là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn với trung bình μ = 497.25 và độ lệch chuẩn σ = 8.66.

Z1 = (493.5 - 497.25) / 8.66 ≈ -0.43
Z2 = (499.5 - 497.25) / 8.66 ≈ 0.26
P(-0.43 < Z < 0.26) = P(Z < 0.26) - P(Z < -0.43) = P(Z < 0.26) - (1 - P(Z < 0.43))
Tra bảng phân phối chuẩn, ta có:
P(Z < 0.26) ≈ 0.6026
P(Z < 0.43) ≈ 0.6664
P(-0.43 < Z < 0.26) ≈ 0.6026 - (1 - 0.6664) = 0.6026 - 0.3336 = 0.2690

Giá trị này gần với 0.2273 nhất trong các đáp án. Do đó, đáp án chính xác nhất là 0.2273.

Lưu ý: Việc sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn có thể dẫn đến sai số nhỏ so với kết quả chính xác của phân phối nhị thức. Tuy nhiên, trong trường hợp này, nó đủ để chọn ra đáp án đúng nhất từ các lựa chọn đã cho.

Gọi số gà mái gia đình đó phải nuôi là n. Số trứng trung bình mỗi ngày gia đình đó thu được là 0.75n. Theo yêu cầu bài toán, ta có: 0.75n > 122 => n > 122/0.75 = 162.67. Vì n là số nguyên nên số gà tối thiểu phải là 163.

Gọi x là xác suất tivi phải bảo hành. Khi đó, xác suất tivi không phải bảo hành là 1 - x.

Lợi nhuận trung bình khi bán một chiếc tivi được tính như sau:

Lời nhuận trung bình = (Lợi nhuận khi không bảo hành * Xác suất không bảo hành) + (Lợi nhuận khi bảo hành * Xác suất bảo hành)

Theo đề bài, lợi nhuận trung bình là 356.000 đồng, lợi nhuận khi không bảo hành là 500.000 đồng, và lợi nhuận khi bảo hành (thực tế là lỗ) là -700.000 đồng.

Ta có phương trình:

356.000 = (500.000 * (1 - x)) + (-700.000 * x)

356.000 = 500.000 - 500.000x - 700.000x

356.000 = 500.000 - 1.200.000x

1.200.000x = 500.000 - 356.000

1.200.000x = 144.000

x = 144.000 / 1.200.000

x = 0,12

Vậy xác suất tivi phải bảo hành là 0,12 hay 12%.