Tiêu chuẩn Hurwit được dùng để xét ổn định cho?

Sai số ở trạng thái xác lập (steady-state error) St được tính bằng giới hạn của sai lệch e(t) khi thời gian t tiến đến vô cùng. Theo định lý giá trị cuối (Final Value Theorem) trong biến đổi Laplace, giới hạn này có thể được tính bằng giới hạn của pE(p) khi p tiến đến 0, với E(p) là biến đổi Laplace của e(t). Do đó, công thức đúng là St = lim (t→∞) e(t) = lim (p→0) pE(p).

Để tìm sai số xác lập của hệ thống khi tín hiệu vào là u(t) = 1(t) (bước nhảy đơn vị), ta cần tìm giới hạn của sai số e(t) khi t tiến tới vô cùng. Với hệ thống có hàm truyền đạt hở Wh(p) = 1/(p^2 + p + k) và tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị, ta có thể sử dụng định lý giá trị cuối cùng.

Hàm truyền đạt của hệ kín là: Wc(p) = Wh(p) / (1 + Wh(p)) = 1 / (p^2 + p + k + 1).

Hàm truyền đạt của sai số là: We(p) = 1 - Wc(p) = (p^2 + p + k) / (p^2 + p + k + 1).

Khi đó, sai số xác lập ess = lim (t->∞) e(t) = lim (p->0) p.E(p) = lim (p->0) p.U(p).We(p), trong đó U(p) là biến đổi Laplace của u(t) = 1(t), tức U(p) = 1/p.

Vậy, ess = lim (p->0) p.(1/p).((p^2 + p + k) / (p^2 + p + k + 1)) = lim (p->0) (p^2 + p + k) / (p^2 + p + k + 1) = k / (k + 1).

Do đó, sai số xác lập của hệ thống là k/(k+1).

Trong lý thuyết hệ thống, đặc biệt là đối với hệ thống rời rạc, điều kiện ổn định được xác định dựa trên vị trí của các nghiệm của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng phức z. Một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu và chỉ nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng (tức là các полюсы của hàm truyền đạt) nằm bên trong vòng tròn đơn vị trên mặt phẳng phức z. Điều này đảm bảo rằng đáp ứng xung của hệ thống sẽ hội tụ về 0 khi thời gian tiến tới vô cùng, tức là hệ thống sẽ không phát ra các dao động không giới hạn.