Sắp xếp 5 sinh viên vào một bàn dài có 5 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp?

Để xếp 5 sinh viên nam đứng gần nhau và 3 sinh viên nữ đứng gần nhau, ta có thể xem nhóm sinh viên nam là một khối và nhóm sinh viên nữ là một khối. Có 2! cách xếp thứ tự hai khối này (nam trước nữ hoặc nữ trước nam). Trong mỗi khối: - Có 5! cách xếp 5 sinh viên nam. - Có 3! cách xếp 3 sinh viên nữ. Vậy tổng số cách xếp là: 2! * 5! * 3! = 2 * 120 * 6 = 1440 cách.

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó theo một thứ tự nhất định. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Phương án 2 mô tả chính xác sự khác biệt này: Hoán vị sắp xếp n phần tử vào n vị trí (tất cả các phần tử đều được sử dụng và thứ tự quan trọng), còn chỉnh hợp chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp vào k vị trí (chỉ một phần các phần tử được sử dụng và thứ tự quan trọng).

Để giải bài toán này, ta cần xét các bước sau:

1. Chọn chữ số hàng trăm: Vì số cần tìm là số có 3 chữ số, chữ số hàng trăm phải khác 0. Vậy có 5 cách chọn (1, 2, 3, 4, 5).
2. Chọn chữ số hàng chục: Sau khi chọn chữ số hàng trăm, ta còn lại 5 chữ số (bao gồm cả số 0). Vậy có 5 cách chọn.
3. Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi chọn chữ số hàng trăm và hàng chục, ta còn lại 4 chữ số. Vậy có 4 cách chọn.

Vậy, số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 6 số trên là: 5 * 5 * 4 = 100.

Phân tích các biến cố A, B, C:

1. A: Sản phẩm thứ nhất là tốt.


2. B: Sản phẩm thứ hai là tốt.


3. C: Sản phẩm thứ ba là tốt.

Để xác định xem A, B, C có xung khắc hay không, ta xét xem chúng có thể xảy ra đồng thời hay không. Trong trường hợp này, việc cả ba sản phẩm đầu tiên đều tốt là hoàn toàn có thể xảy ra (tức là có thể chọn được 3 sản phẩm tốt từ 6 sản phẩm tốt ban đầu). Vì vậy, A, B, C không phải là các biến cố xung khắc.

Để xác định xem A, B, C có đối lập hay không, ta xét xem tổng xác suất của chúng có bằng 1 hay không và chúng có đồng thời xảy ra hay không. Trong trường hợp này, A, B, C không phải là các biến cố đối lập vì chúng có thể đồng thời xảy ra (như đã giải thích ở trên) và tổng xác suất của chúng không nhất thiết bằng 1.

Vậy, A, B, C là các biến cố không xung khắc.