Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?

Công thức ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai \(\sigma^2\) của biến ngẫu nhiên \(X \sim N(a, \sigma^2)\) (với a chưa biết) được xác định dựa trên phân phối Chi bình phương. Cụ thể, ta sử dụng thống kê \(\frac{(n-1)S'^2}{\sigma^2}\), trong đó \(S'^2\) là phương sai mẫu hiệu chỉnh, tuân theo phân phối Chi bình phương với \(n-1\) bậc tự do. Từ đó, ta xây dựng khoảng tin cậy như sau:

Khoảng tin cậy \((1 - \alpha)\) cho \(\sigma^2\) được xác định bởi:

\(\frac{{\left( {n - 1} \right)S{'^2}}}{{\chi _{\alpha /2,n - 1}^2}} < {\sigma ^2} < \frac{{\left( {n - 1} \right)S{'^2}}}{{\chi _{1 - \alpha /2,n - 1}^2}}\)

Trong đó:

• \(n\) là kích thước mẫu.
• \(S'^2\) là phương sai mẫu hiệu chỉnh.
• \(\chi_{\alpha/2, n-1}^2\) và \(\chi_{1-\alpha/2, n-1}^2\) là các giá trị tới hạn từ phân phối Chi bình phương với \(n-1\) bậc tự do, tương ứng với mức ý nghĩa \(\alpha/2\) và \(1-\alpha/2\).

Do đó, đáp án đúng là phương án 2.

Câu hỏi này liên quan đến kiểm định giả thuyết về tỷ lệ. Giả thuyết gốc là tỷ lệ sản phẩm xấu tối đa là 7% (p ≤ 0.07). Ta có mẫu 100 sản phẩm, trong đó 8 sản phẩm xấu (tỷ lệ mẫu p̂ = 0.08). Cần tính giá trị kiểm định (Test statistic) để so sánh với giá trị tới hạn và đưa ra kết luận.

Công thức tính giá trị kiểm định Tqs (giá trị quan sát) trong trường hợp này là:

\(\mathop T\nolimits_{qs} = \frac{{\hat p - {p_0}}}{{\sqrt {\frac{{{p_0}(1 - {p_0})}}{n}} }}\)

Trong đó:

• \(\hat p\) là tỷ lệ mẫu (0.08)
• \({p_0}\) là tỷ lệ theo giả thuyết gốc (0.07)
• n là kích thước mẫu (100)

Thay số vào công thức, ta có:

\(\mathop T\nolimits_{qs} = \frac{{0,08 - 0,07}}{{\sqrt {\frac{{0,07.(1 - 0,07)}}{{100}}} }} = \frac{{(0,08 - 0,07)\sqrt {100} }}{{\sqrt {0,07.0,93} }}\)

Tuy nhiên, các đáp án có vẻ như đang sử dụng công thức ước lượng phương sai khác một chút (thay vì dùng p0, lại dùng p̂ để ước lượng phương sai), nhưng dù sao đáp án gần đúng nhất (về mặt ý tưởng) với cách tính trên là đáp án 1:

\(\mathop T\nolimits_{qs} = \frac{{(0,08 - 0,07)\sqrt {100} }}{{\sqrt {0,07.0,93} }}\)

Như vậy, đáp án 1 là đáp án đúng nhất trong các đáp án đã cho.