Một cầu thủ ném lần lượt 3 quả bóng vào rỗ một cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng là 0,7; 0,8; 0,9. Biết rằng có 2 quả bóng vào rỗ. Xác suất để quả bóng thứ nhất vào rỗ là:

Câu 47:

Giả sử \(X \in N(\mu ,1)\). Lấy mẫu với n = 16 ta tính được \(\overline X = 10,1\). Hãy kiểm định giả thuyết \({H_0}:\mu = 10,5\) với mức ý nghĩa 5%

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Bài toán này yêu cầu kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình của một phân phối chuẩn với phương sai đã biết.

Bước 1: Xác định các thông số
- Giả thuyết gốc H0: μ = 10.5
- Giả thuyết đối H1: μ ≠ 10.5 (kiểm định hai phía)
- Mức ý nghĩa α = 0.05
- Kích thước mẫu n = 16
- Trung bình mẫu X̄ = 10.1
- Độ lệch chuẩn σ = 1 (vì X ~ N(μ, 1))

Bước 2: Tính toán giá trị kiểm định
Vì phương sai đã biết, ta sử dụng thống kê z:
z = (X̄ - μ0) / (σ / √n) = (10.1 - 10.5) / (1 / √16) = -0.4 / (1/4) = -1.6

Bước 3: Xác định giá trị tới hạn
Với mức ý nghĩa α = 0.05 và kiểm định hai phía, ta tìm giá trị tới hạn zα/2 sao cho P(Z < -zα/2) = α/2 = 0.025 và P(Z > zα/2) = α/2 = 0.025. Tra bảng phân phối chuẩn, ta có zα/2 ≈ 1.96.
Vậy, miền bác bỏ là Z < -1.96 hoặc Z > 1.96.

Bước 4: So sánh giá trị kiểm định và giá trị tới hạn
Vì -1.96 < z = -1.6 < 1.96, ta không bác bỏ giả thuyết H0.

Kết luận: Chấp nhận H0.

Câu 48:

Trước cuộc bầu cử ứng cử viên A tuyên bố sẽ được 55% cử tri ủng hộ. Thăm dò ý kiến của 200 cử tri thì có 102 người cho biết sẽ bỏ phiếu cho A. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra dự đoán của A.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để kiểm tra dự đoán của ứng cử viên A, ta sử dụng kiểm định giả thuyết về tỷ lệ.

Giả thuyết không (H0): p = 0.55 (tỷ lệ cử tri ủng hộ A là 55%)
Giả thuyết đối (H1): p ≠ 0.55 (tỷ lệ cử tri ủng hộ A khác 55%)

Tỷ lệ mẫu (p̂) = 102/200 = 0.51

Tính thống kê kiểm định z:
z = (p̂ - p0) / √(p0(1-p0)/n) = (0.51 - 0.55) / √(0.55(1-0.55)/200) ≈ -1.14

Giá trị p tương ứng với z = -1.14 là khoảng 0.2542 (kiểm định hai phía).

Mức ý nghĩa α = 0.05

Vì p-value (0.2542) > α (0.05), ta không bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỷ lệ cử tri ủng hộ A khác 55%.

Vậy, dự đoán của A là đáng tin cậy.

Câu 49:

Đo chiều cao X (cm) của 9 sinh viên, ta được kết quả: 152; 167; 159; 171; 162; 158; 156; 165 và 166. Tính \(s_X^2\) (phương sai mẫu)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính phương sai mẫu (\(s_X^2\)), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính trung bình mẫu (\(\bar{X}\)): Cộng tất cả các giá trị và chia cho số lượng mẫu (n=9).
\(\bar{X} = \frac{152 + 167 + 159 + 171 + 162 + 158 + 156 + 165 + 166}{9} = \frac{1456}{9} \approx 161.78\)

2. Tính tổng bình phương độ lệch: Tính độ lệch của mỗi giá trị so với trung bình mẫu, bình phương các độ lệch này, sau đó cộng chúng lại.
\(\sum_{i=1}^{9} (X_i - \bar{X})^2 = (152-161.78)^2 + (167-161.78)^2 + (159-161.78)^2 + (171-161.78)^2 + (162-161.78)^2 + (158-161.78)^2 + (156-161.78)^2 + (165-161.78)^2 + (166-161.78)^2 \approx 86.11 + 27.24 + 7.73 + 85.00 + 0.05 + 14.29 + 33.41 + 10.37 + 17.05 = 281.25\)

3. Tính phương sai mẫu: Chia tổng bình phương độ lệch cho (n-1), với n là số lượng mẫu.
\(s_X^2 = \frac{\sum_{i=1}^{9} (X_i - \bar{X})^2}{n-1} = \frac{281.25}{9-1} = \frac{281.25}{8} \approx 35.16\)

Giá trị gần nhất với kết quả tính toán là 36,944 (cm²). Lưu ý rằng sự khác biệt có thể do làm tròn số trong quá trình tính toán.

Câu 50:

Thống kê 200 bài thi giữa kỳ Xác suất thống kê ta có tổng số điểm tính được là 1444 điểm, độ lệch chuẩn hiệu chỉnh là 6,145 điểm. Tính điểm trung bình tối thiểu kỳ thi giữa kỳ của môn này với độ tin cậy 99%.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Điểm trung bình mẫu là: \(\bar{x} = \frac{1444}{200} = 7.22\).\n\nĐộ tin cậy 99% tương ứng với mức ý nghĩa \(\alpha = 1 - 0.99 = 0.01\). Vì cỡ mẫu lớn (n = 200), ta sử dụng phân phối Z để ước lượng khoảng tin cậy cho trung bình.\n\nGiá trị tới hạn \(z_{\alpha/2} = z_{0.005} \approx 2.576\) (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng phần mềm thống kê).\n\nSai số biên là: \(E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.576 \cdot \frac{6.145}{\sqrt{200}} \approx 1.110\)\n\nKhoảng tin cậy 99% cho điểm trung bình là: \(\bar{x} - E < \mu < \bar{x} + E\) hay \(7.22 - 1.110 < \mu < 7.22 + 1.110\), tức là \(6.11 < \mu < 8.33\).\n\nĐiểm trung bình tối thiểu là 6.11. Tuy nhiên, do các đáp án không có giá trị này, ta xem xét lại cách tính. Vì đề bài yêu cầu 'điểm trung bình tối thiểu', ta cần tính cận dưới của khoảng tin cậy. Các đáp án có vẻ đã làm tròn khác nhau, nên ta tính lại chính xác hơn.\n\n\(\bar{x} - t_{n-1,\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \approx 7.22 - 2.576*\frac{6.145}{\sqrt{200}} \approx 7.22 - 1.11 \approx 6.11\)\nGiá trị gần nhất với 6.11 trong các lựa chọn là 6.090 và 6.091. Tuy nhiên, 6.090 có vẻ là kết quả làm tròn chính xác hơn.\n

Câu 1:

Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK.

Gọi biến cố A_i: “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2,3 ); A : “sinh viên A thi đỗ”. Biến cố \({A_2}\overline A \) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Biến cố \({A_2}\overline A \) có nghĩa là đồng thời xảy ra hai biến cố: A₂ (có 2 sinh viên thi đỗ) và \(\overline A\) (sinh viên A thi trượt). Kết hợp lại, biến cố này mô tả tình huống có đúng 2 sinh viên thi đỗ, và sinh viên A là một trong những người thi trượt. Vì vậy, không thể nói "chỉ có sinh viên A thi hỏng" vì còn có một sinh viên khác cũng thi đỗ. Vậy nên, câu trả lời chính xác nhất là "Có 2 sinh viên thi đỗ, trong đó sinh viên A thi trượt", tuy nhiên trong các đáp án chỉ có đáp án "Có 2 sinh viên thi đỗ;" là phù hợp nhất (mặc dù không đầy đủ).

Câu 2:

Trong hộp có 10 viên bi cùng kích cỡ, gồm 6 trắng và 4 đen. Lấy ngẫu nhiên trong hộp ra 2 viên bi. Xác suất để cả 2 viên bi đều trắng.

Lời giải: