Giả sử \(X \in N\left( {\mu ,1} \right)\). Lấy mẫu với n = 16 ta tính được \(\overline X = 10,1\). Hãy kiểm định giả thuyết \({H_0}:\mu = 10,5\) với mức ý nghĩa 5%

Để biểu diễn quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên, chúng ta có thể sử dụng hàm phân phối xác suất, bảng phân phối xác suất (đối với biến ngẫu nhiên rời rạc), hoặc hàm mật độ xác suất (đối với biến ngẫu nhiên liên tục). Do đó, cả ba phương án trên đều đúng.

Khoảng tin cậy thường được biểu diễn dưới dạng một tỷ lệ phần trăm (ví dụ: 95%, 99%) hoặc một giá trị thập phân gần với 1 (ví dụ: 0,95, 0,99). Các giá trị này biểu thị mức độ tin cậy mà chúng ta có thể đặt vào việc ước lượng tham số của quần thể. Trong các lựa chọn được đưa ra, 0,96 là giá trị phù hợp nhất với khái niệm này.

Để ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95%, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số:

• Số sản phẩm kiểm tra: n = 400


• Số sản phẩm loại I: x = 160


• Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại I: p̂ = x/n = 160/400 = 0.4


• Độ tin cậy: 95%


• α = 1 - 0.95 = 0.05


• Giá trị tới hạn Z_α/2 = Z_0.025 ≈ 1.96 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng máy tính)

2. Tính khoảng tin cậy:

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ p được tính theo công thức:

p̂ - Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n) ≤ p ≤ p̂ + Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n)

Trong đó:

• p̂ là tỉ lệ mẫu


• Z_α/2 là giá trị Z tương ứng với mức ý nghĩa α/2


• n là kích thước mẫu

Thay số vào công thức:

0. 4 - 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.24/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.24/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.0006) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.0006)

0. 4 - 1.96 * 0.02449 ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * 0.02449

0. 4 - 0.048 ≤ p ≤ 0.4 + 0.048

0. 352 ≤ p ≤ 0.448

Vậy, ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95% là 44,8%. Trong các đáp án đã cho, 44,5% là giá trị gần đúng nhất.

Để kiểm định giả thuyết về tỷ lệ sinh con trai và gái có như nhau, ta thực hiện kiểm định giả thuyết một phía (one-tailed test) hoặc hai phía (two-tailed test) tùy thuộc vào câu hỏi. Trong trường hợp này, câu hỏi chỉ hỏi "có như nhau không", nên ta sẽ thực hiện kiểm định hai phía.

Giả thuyết null (H0): Tỷ lệ sinh con trai và gái là như nhau (p = 0.5).

Giả thuyết đối (H1): Tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau (p ≠ 0.5).

Ta có:

• Số trẻ sơ sinh được quan sát (n) = 400


• Số bé trai (x) = 218


• Tỷ lệ bé trai quan sát được (p̂) = x/n = 218/400 = 0.545


• Mức ý nghĩa (α) = 0.05

Tính giá trị kiểm định (test statistic) z:

z = (p̂ - p0) / √(p0(1-p0)/n) = (0.545 - 0.5) / √(0.5(1-0.5)/400) = 0.045 / √(0.25/400) = 0.045 / 0.025 = 1.8

Tìm giá trị p (p-value) tương ứng với z = 1.8. Vì đây là kiểm định hai phía, ta tìm p-value cho cả hai đuôi của phân phối chuẩn.

p-value = 2 * P(Z > |1.8|) ≈ 2 * 0.0359 = 0.0718

So sánh p-value với mức ý nghĩa α:

p-value (0.0718) > α (0.05)

Vì p-value lớn hơn mức ý nghĩa, ta không bác bỏ giả thuyết null. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau.

Vậy đáp án đúng là: Tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau