Kiểm tra 400 sản phẩm thì thấy 160 sản phẩm loại I. Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95%?

Câu 41:

Quan sát ngẫu nhiên 400 trẻ sơ sinh, ta thấy có 218 bé trai. Với mức ý nghĩa 5%, có thể khẳng định tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau không?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để kiểm định giả thuyết về tỷ lệ sinh con trai và gái có như nhau, ta thực hiện kiểm định giả thuyết một phía (one-tailed test) hoặc hai phía (two-tailed test) tùy thuộc vào câu hỏi. Trong trường hợp này, câu hỏi chỉ hỏi "có như nhau không", nên ta sẽ thực hiện kiểm định hai phía.

Giả thuyết null (H0): Tỷ lệ sinh con trai và gái là như nhau (p = 0.5).

Giả thuyết đối (H1): Tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau (p ≠ 0.5).

Ta có:

Số trẻ sơ sinh được quan sát (n) = 400

Số bé trai (x) = 218

Tỷ lệ bé trai quan sát được (p̂) = x/n = 218/400 = 0.545

Mức ý nghĩa (α) = 0.05

Tính giá trị kiểm định (test statistic) z:

z = (p̂ - p0) / √(p0(1-p0)/n) = (0.545 - 0.5) / √(0.5(1-0.5)/400) = 0.045 / √(0.25/400) = 0.045 / 0.025 = 1.8

Tìm giá trị p (p-value) tương ứng với z = 1.8. Vì đây là kiểm định hai phía, ta tìm p-value cho cả hai đuôi của phân phối chuẩn.

p-value = 2 * P(Z > |1.8|) ≈ 2 * 0.0359 = 0.0718

So sánh p-value với mức ý nghĩa α:

p-value (0.0718) > α (0.05)

Vì p-value lớn hơn mức ý nghĩa, ta không bác bỏ giả thuyết null. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau.

Vậy đáp án đúng là: Tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau

Câu 42:

Một phân xƣởng có hai máy hoạt động độc lập. Xác suất trong một ngày làm việc các máy đó hỏng tƣơng ứng là 0,1; 0,2. Gọi X là số máy hỏng trong một ngày làm việc. Mốt Mod[X]

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi X là số máy hỏng trong một ngày. X có thể nhận các giá trị 0, 1, 2.
- P(X=0) = (1-0.1)(1-0.2) = 0.9 * 0.8 = 0.72
- P(X=1) = 0.1 * (1-0.2) + 0.2 * (1-0.1) = 0.1 * 0.8 + 0.2 * 0.9 = 0.08 + 0.18 = 0.26
- P(X=2) = 0.1 * 0.2 = 0.02
Vì P(X=0) > P(X=1) > P(X=2), nên Mod[X] = 0.

Câu 43:

Tại bệnh viện A trung bình 3 giờ có 8 ca mổ. Hỏi số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra tại bệnh viện A trong 10 giờ là bao nhiêu?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Số ca mổ trung bình mỗi giờ là: 8 ca / 3 giờ = 8/3 ca/giờ.
Trong 10 giờ, số ca mổ trung bình là: (8/3) ca/giờ * 10 giờ = 80/3 ca = 26.67 ca.
Vì số ca mổ phải là một số nguyên, ta làm tròn số 26.67. Vì 0.67 > 0.5, ta làm tròn lên thành 27 ca. Vậy số ca mổ chắc chắn nhất sẽ xảy ra trong 10 giờ là 27 ca.

Câu 44:

Nếu máy móc hoạt động bình thường thì độ dài sản phẩm X \(\in\) N(100;1) . Qua một thời gian sản xuất người ta nghi ngờ độ dài sản phẩm có xu hướng tăng lên nên đo thử 100 sản phẩm thì \(\overline X = 100,3\). Hãy kiểm tra sự nghi ngờ trên ở mức 5%.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể khi biết độ lệch chuẩn của quần thể.

Phát biểu giả thuyết null (H₀) và giả thuyết đối (H₁):
- H₀: μ = 100 (độ dài sản phẩm không đổi)
- H₁: μ > 100 (độ dài sản phẩm có xu hướng tăng lên)
Chọn mức ý nghĩa α = 0.05.
Tính giá trị thống kê kiểm định: \(Z = \frac{{\overline X - \mu_0}}{{\frac{\sigma}{{\sqrt n }}}} = \frac{{100.3 - 100}}{{\frac{1}{{\sqrt {100} }}}} = 3\)
Tìm giá trị tới hạn: Vì đây là kiểm định một phía bên phải, ta tìm z_α sao cho P(Z > z_α) = 0.05. Tra bảng phân phối Z (hoặc sử dụng hàm excel NORM.S.INV(0.95)), ta được z_α ≈ 1.645.
Quy tắc quyết định: Bác bỏ H₀ nếu Z > z_α.
Kết luận: Vì Z = 3 > 1.645 = z_α, ta bác bỏ H₀. Vậy sự nghi ngờ về độ dài sản phẩm có xu hướng tăng lên là đúng.

Câu 45:

Theo tính toán của một nhóm kỹ sư quân sự tên lửa tầm trung mới thiết kế có tầm bắn xa trung bình 61,5km. Viện kiểm soát khí tài quân sự cho bắn thử 6 quả và thu được kết quả: 58; 60; 62; 61; 57 và 56km. Với mức ý nghĩa 5%, tính toán của nhóm kỹ sư trên có đáng tin cậy không.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để xác định tính đáng tin cậy của tính toán tầm bắn trung bình của tên lửa, ta cần thực hiện kiểm định giả thuyết thống kê.

1. Phát biểu giả thuyết:
- Giả thuyết không (H0): Tầm bắn trung bình của tên lửa là 61,5 km.
- Giả thuyết đối (H1): Tầm bắn trung bình của tên lửa khác 61,5 km.

2. Tính toán thống kê kiểm định:
- Tính trung bình mẫu: (58 + 60 + 62 + 61 + 57 + 56) / 6 = 59 km
- Tính độ lệch chuẩn mẫu (s):
- s = sqrt[ Σ (xi - x_bar)^2 / (n-1) ] = sqrt[((58-59)^2 +(60-59)^2 + (62-59)^2 + (61-59)^2 + (57-59)^2 + (56-59)^2) / 5] = 2.3664
- Tính giá trị thống kê t:
- t = (x_bar - μ) / (s / sqrt(n)) = (59 - 61.5) / (2.3664 / sqrt(6)) = -2.5 / 0.9661 = -2.588

3. Xác định giá trị tới hạn:
- Mức ý nghĩa α = 0.05
- Bậc tự do df = n - 1 = 6 - 1 = 5
- Giá trị tới hạn t(α/2, df) = t(0.025, 5) = 2.571 (tra bảng phân phối t)

4. So sánh và đưa ra kết luận:
- Vì |t| = |-2.588| = 2.588 > 2.571, ta bác bỏ giả thuyết H0.
- Điều này có nghĩa là tầm bắn trung bình thực tế của tên lửa có sự khác biệt đáng kể so với tính toán ban đầu là 61,5 km.

Vậy, với mức ý nghĩa 5%, tính toán của nhóm kỹ sư là không đáng tin cậy.

Câu 46:

Thiết kế kỹ thuật đường kính của một loại bánh kem do máy A làm ra là 30cm. Sau một thời gian sản xuất người ta nghi ngờ sự chính xác của máy A nên đo thử 81 bánh kem thì đường kính trung bình là 30,5cm và S=1cm. Hãy kiểm định sự nghi ngờ trên ở mức 5%.

Lời giải: