Giá trị nào dưới đây thích hợp với khoảng tin cậy?

Để ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95%, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các thông số:

• Số sản phẩm kiểm tra: n = 400


• Số sản phẩm loại I: x = 160


• Tỉ lệ mẫu sản phẩm loại I: p̂ = x/n = 160/400 = 0.4


• Độ tin cậy: 95%


• α = 1 - 0.95 = 0.05


• Giá trị tới hạn Z_α/2 = Z_0.025 ≈ 1.96 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng máy tính)

2. Tính khoảng tin cậy:

Khoảng tin cậy cho tỉ lệ p được tính theo công thức:

p̂ - Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n) ≤ p ≤ p̂ + Z_α/2 * √(p̂(1-p̂)/n)

Trong đó:

• p̂ là tỉ lệ mẫu


• Z_α/2 là giá trị Z tương ứng với mức ý nghĩa α/2


• n là kích thước mẫu

Thay số vào công thức:

0. 4 - 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.4(1-0.4)/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.24/400) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.24/400)

0. 4 - 1.96 * √(0.0006) ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * √(0.0006)

0. 4 - 1.96 * 0.02449 ≤ p ≤ 0.4 + 1.96 * 0.02449

0. 4 - 0.048 ≤ p ≤ 0.4 + 0.048

0. 352 ≤ p ≤ 0.448

Vậy, ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại I tối đa với độ tin cậy 95% là 44,8%. Trong các đáp án đã cho, 44,5% là giá trị gần đúng nhất.

Để kiểm định giả thuyết về tỷ lệ sinh con trai và gái có như nhau, ta thực hiện kiểm định giả thuyết một phía (one-tailed test) hoặc hai phía (two-tailed test) tùy thuộc vào câu hỏi. Trong trường hợp này, câu hỏi chỉ hỏi "có như nhau không", nên ta sẽ thực hiện kiểm định hai phía.

Giả thuyết null (H0): Tỷ lệ sinh con trai và gái là như nhau (p = 0.5).

Giả thuyết đối (H1): Tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau (p ≠ 0.5).

Ta có:

• Số trẻ sơ sinh được quan sát (n) = 400


• Số bé trai (x) = 218


• Tỷ lệ bé trai quan sát được (p̂) = x/n = 218/400 = 0.545


• Mức ý nghĩa (α) = 0.05

Tính giá trị kiểm định (test statistic) z:

z = (p̂ - p0) / √(p0(1-p0)/n) = (0.545 - 0.5) / √(0.5(1-0.5)/400) = 0.045 / √(0.25/400) = 0.045 / 0.025 = 1.8

Tìm giá trị p (p-value) tương ứng với z = 1.8. Vì đây là kiểm định hai phía, ta tìm p-value cho cả hai đuôi của phân phối chuẩn.

p-value = 2 * P(Z > |1.8|) ≈ 2 * 0.0359 = 0.0718

So sánh p-value với mức ý nghĩa α:

p-value (0.0718) > α (0.05)

Vì p-value lớn hơn mức ý nghĩa, ta không bác bỏ giả thuyết null. Điều này có nghĩa là không có đủ bằng chứng để kết luận rằng tỷ lệ sinh con trai và gái là khác nhau.

Vậy đáp án đúng là: Tỉ lệ sinh con trai và gái có như nhau

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể khi biết độ lệch chuẩn của quần thể.

1. Phát biểu giả thuyết null (H₀) và giả thuyết đối (H₁):
   • H₀: μ = 100 (độ dài sản phẩm không đổi)
   • H₁: μ > 100 (độ dài sản phẩm có xu hướng tăng lên)
2. Chọn mức ý nghĩa α = 0.05.
3. Tính giá trị thống kê kiểm định: \(Z = \frac{{\overline X - \mu_0}}{{\frac{\sigma}{{\sqrt n }}}} = \frac{{100.3 - 100}}{{\frac{1}{{\sqrt {100} }}}} = 3\)
4. Tìm giá trị tới hạn: Vì đây là kiểm định một phía bên phải, ta tìm z_α sao cho P(Z > z_α) = 0.05. Tra bảng phân phối Z (hoặc sử dụng hàm excel NORM.S.INV(0.95)), ta được z_α ≈ 1.645.
5. Quy tắc quyết định: Bác bỏ H₀ nếu Z > z_α.
6. Kết luận: Vì Z = 3 > 1.645 = z_α, ta bác bỏ H₀. Vậy sự nghi ngờ về độ dài sản phẩm có xu hướng tăng lên là đúng.