Công thức ước lượng khoảng tin cậy đối xứng (với độ tin cậy \(1 - \alpha\)) cho tỷ lệ là:

Công thức ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng của biến ngẫu nhiên \(X \sim N\left( {a,{\sigma ^2}} \right)\) với \(\sigma\) chưa biết được xác định như sau:

\(\left( {\overline x - \frac{{t_{\alpha /2}^{n - 1}S'}}{{\sqrt n }};\overline x + \frac{{t_{\alpha /2}^{n - 1}S'}}{{\sqrt n }}} \right)\)

Trong đó:

• \(\overline x \) là trung bình mẫu.
• \(t_{\alpha /2}^{n - 1}\) là giá trị tới hạn của phân phối t-Student với n-1 bậc tự do và mức ý nghĩa \(\alpha/2\).
• \(S'\) là độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh.
• \(n\) là kích thước mẫu.

Do đó, đáp án đúng là phương án 1.

Gọi A là biến cố bạn Nam có đúng 2 lần ngồi vào cùng 1 vị trí.

Số cách xếp chỗ ngồi cho bạn Nam trong 4 lần thi là: \(24^4\).

Số cách để chọn ra 2 lần bạn Nam ngồi cùng 1 vị trí là \(C_4^2 = 6\).

Chọn 1 vị trí cho 2 lần ngồi đó có 24 cách.

Hai lần còn lại bạn Nam phải ngồi ở 2 vị trí khác nhau và khác với vị trí đã chọn. Số cách chọn là \(23 \times 22\).

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(6 \times 24 \times 23 \times 22\).

Xác suất cần tìm là: \(P(A) = \frac{{6 \times 24 \times 23 \times 22}}{{24^4}} = \frac{{6 \times 23 \times 22}}{{24^3}} = \frac{{3036}}{{13824}} = \frac{{253}}{{1152}}\).

Vậy đáp án đúng là \(\frac{{253}}{{1152}}\).

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể khi biết phương sai quần thể.

1. Phát biểu giả thuyết:

• H0: μ = 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng là 100 kg)
• H1: μ < 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng nhỏ hơn 100 kg - ý kiến phản ánh bị thiếu)

2. Chọn tiêu chuẩn kiểm định:

Vì đã biết phương sai của quần thể, ta sử dụng tiêu chuẩn Z.

3. Tính giá trị kiểm định:

Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)

Trong đó:

• X̄ = 98.97 (trọng lượng trung bình mẫu)
• μ0 = 100 (trọng lượng trung bình theo giả thuyết H0)
• σ = √0.01 = 0.1 (độ lệch chuẩn quần thể)
• n = 25 (kích thước mẫu)

Z = (98.97 - 100) / (0.1 / √25) = -1.03 / (0.1/5) = -1.03 / 0.02 = -51.5

4. Xác định miền bác bỏ:

Với mức ý nghĩa α = 0.05, và kiểm định một phía (H1: μ < 100), ta tìm giá trị tới hạn Zα sao cho P(Z < Zα) = 0.05. Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta được Zα ≈ -1.645.

Miền bác bỏ là Z < -1.645.

5. Kết luận:

Vì giá trị quan sát Z = -51.5 < -1.645, Z thuộc miền bác bỏ. Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là có đủ bằng chứng để kết luận rằng trọng lượng trung bình của các bao hàng nhỏ hơn 100 kg. Vậy ý kiến phản ánh là có cơ sở.

Để viết phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X, ta sử dụng công thức:

\(y = a + bx\)

trong đó:

\(b = {r_{XY}} \cdot \frac{{{S_Y}}}{{{S_X}}}\)

\(a = \overline Y - b\overline X \)

Thay số liệu đã cho vào, ta tính được:

\(b = 0,9729 \cdot \frac{{0,833}}{{11,785}} = 0,0688\)

\(a = 3,56 - 0,0688 \cdot 45,1 = 3,56 - 3,10288 = 0,45712 \approx 0,4571\)

Vậy phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X là:

\(y = 0,0688x + 0,4571\)