Đo chiều cao X (cm) của 9 sinh viên, ta được kết quả: 152; 167; 159; 171; 162; 158; 156; 165 và 166.
Tính S (độ lệch mẫu hiệu chỉnh)

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể khi biết phương sai quần thể.

1. Phát biểu giả thuyết:

• H0: μ = 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng là 100 kg)
• H1: μ < 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng nhỏ hơn 100 kg - ý kiến phản ánh bị thiếu)

2. Chọn tiêu chuẩn kiểm định:

Vì đã biết phương sai của quần thể, ta sử dụng tiêu chuẩn Z.

3. Tính giá trị kiểm định:

Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)

Trong đó:

• X̄ = 98.97 (trọng lượng trung bình mẫu)
• μ0 = 100 (trọng lượng trung bình theo giả thuyết H0)
• σ = √0.01 = 0.1 (độ lệch chuẩn quần thể)
• n = 25 (kích thước mẫu)

Z = (98.97 - 100) / (0.1 / √25) = -1.03 / (0.1/5) = -1.03 / 0.02 = -51.5

4. Xác định miền bác bỏ:

Với mức ý nghĩa α = 0.05, và kiểm định một phía (H1: μ < 100), ta tìm giá trị tới hạn Zα sao cho P(Z < Zα) = 0.05. Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta được Zα ≈ -1.645.

Miền bác bỏ là Z < -1.645.

5. Kết luận:

Vì giá trị quan sát Z = -51.5 < -1.645, Z thuộc miền bác bỏ. Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là có đủ bằng chứng để kết luận rằng trọng lượng trung bình của các bao hàng nhỏ hơn 100 kg. Vậy ý kiến phản ánh là có cơ sở.

Để viết phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X, ta sử dụng công thức:

\(y = a + bx\)

trong đó:

\(b = {r_{XY}} \cdot \frac{{{S_Y}}}{{{S_X}}}\)

\(a = \overline Y - b\overline X \)

Thay số liệu đã cho vào, ta tính được:

\(b = 0,9729 \cdot \frac{{0,833}}{{11,785}} = 0,0688\)

\(a = 3,56 - 0,0688 \cdot 45,1 = 3,56 - 3,10288 = 0,45712 \approx 0,4571\)

Vậy phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X là:

\(y = 0,0688x + 0,4571\)

Bài toán này thuộc loại tính xác suất trong phân phối nhị thức. Gọi X là số hạt lúa lai tạp trong 1000 hạt được chọn. Ta có X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 1000 và p = 0.02. Vì n lớn và p nhỏ, ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson với tham số λ = np = 1000 * 0.02 = 20.

Chúng ta cần tính P(17 ≤ X ≤ 19) = P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19). Với phân phối Poisson, P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!.

Vậy:

P(X = 17) = (e^(-20) * 20^17) / 17! ≈ 0.07488

P(X = 18) = (e^(-20) * 20^18) / 18! ≈ 0.08298

P(X = 19) = (e^(-20) * 20^19) / 19! ≈ 0.08735

P(17 ≤ X ≤ 19) = 0.07488 + 0.08298 + 0.08735 ≈ 0.24521

Giá trị gần nhất với kết quả tính toán là 0,2492.

Để tính tỉ lệ nam giới có chiều cao từ 1,65m đến 1,75m, ta cần chuẩn hóa biến ngẫu nhiên X theo phân phối chuẩn tắc Z.

X ~ N(165, 25), tức là X có trung bình μ = 165 và độ lệch chuẩn σ = √25 = 5.

Ta cần tính P(165 ≤ X ≤ 175).

Chuẩn hóa X về Z, ta có công thức: Z = (X - μ) / σ

Khi X = 165, Z₁ = (165 - 165) / 5 = 0

Khi X = 175, Z₂ = (175 - 165) / 5 = 2

Vậy, P(165 ≤ X ≤ 175) = P(0 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(0)

Trong đó, Φ(z) là hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn tắc.

Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta có:

Φ(0) = 0.5

Φ(2) = 0.9772

Vậy, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772

Do đó, tỉ lệ nam giới có chiều cao từ 1,65m đến 1,75m là 0.4772 hay 47.72%.

Vậy đáp án đúng là 47,73%.

Đây là bài toán tìm số người bị bệnh có khả năng cao nhất trong một nhóm người, khi biết xác suất mắc bệnh của mỗi người. Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng công thức của phân phối nhị thức.

Gọi X là số người bị bệnh trong 61 người được khám.
X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 61 và p = 0.72.
Giá trị có khả năng cao nhất (mode) của phân phối nhị thức được tìm bằng công thức:
np - q ≤ mode ≤ np + p
Trong đó q = 1 - p
Áp dụng vào bài toán:
n = 61, p = 0.72, q = 1 - 0.72 = 0.28
np = 61 * 0.72 = 43.92
np - q = 43.92 - 0.28 = 43.64
np + p = 43.92 + 0.72 = 44.64
Vậy 43.64 ≤ mode ≤ 44.64
Vì số người phải là một số nguyên, nên mode có thể là 44.

Ta kiểm tra thêm các giá trị xung quanh 44 để chắc chắn:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
Ta cần tìm k sao cho P(X = k) lớn nhất.
Vì 43.64 ≤ mode ≤ 44.64, ta xét k = 43 và k = 44.
Số người bị bệnh có khả năng cao nhất là 44.