Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, mỗi lớp thi gồm 24 thí sinh được sắp xếp vào 24 bàn khác nhau. Bạn Nam là một thí sinh dự thi, bạn đăng ký 4 môn thi và cả 4 lần thi đều thi tại một phòng duy nhất. Giả sử giám thị xếp thí sinh vào vị trí một cách ngẫu nhiên, tính xác xuất để trong 4 lần thi thì bạn Nam có đúng 2 lần ngồi cùng vào một vị trí.

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể khi biết phương sai quần thể.

1. Phát biểu giả thuyết:

• H0: μ = 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng là 100 kg)
• H1: μ < 100 (Trọng lượng trung bình của bao hàng nhỏ hơn 100 kg - ý kiến phản ánh bị thiếu)

2. Chọn tiêu chuẩn kiểm định:

Vì đã biết phương sai của quần thể, ta sử dụng tiêu chuẩn Z.

3. Tính giá trị kiểm định:

Z = (X̄ - μ0) / (σ / √n)

Trong đó:

• X̄ = 98.97 (trọng lượng trung bình mẫu)
• μ0 = 100 (trọng lượng trung bình theo giả thuyết H0)
• σ = √0.01 = 0.1 (độ lệch chuẩn quần thể)
• n = 25 (kích thước mẫu)

Z = (98.97 - 100) / (0.1 / √25) = -1.03 / (0.1/5) = -1.03 / 0.02 = -51.5

4. Xác định miền bác bỏ:

Với mức ý nghĩa α = 0.05, và kiểm định một phía (H1: μ < 100), ta tìm giá trị tới hạn Zα sao cho P(Z < Zα) = 0.05. Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta được Zα ≈ -1.645.

Miền bác bỏ là Z < -1.645.

5. Kết luận:

Vì giá trị quan sát Z = -51.5 < -1.645, Z thuộc miền bác bỏ. Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0. Điều này có nghĩa là có đủ bằng chứng để kết luận rằng trọng lượng trung bình của các bao hàng nhỏ hơn 100 kg. Vậy ý kiến phản ánh là có cơ sở.

Để viết phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X, ta sử dụng công thức:

\(y = a + bx\)

trong đó:

\(b = {r_{XY}} \cdot \frac{{{S_Y}}}{{{S_X}}}\)

\(a = \overline Y - b\overline X \)

Thay số liệu đã cho vào, ta tính được:

\(b = 0,9729 \cdot \frac{{0,833}}{{11,785}} = 0,0688\)

\(a = 3,56 - 0,0688 \cdot 45,1 = 3,56 - 3,10288 = 0,45712 \approx 0,4571\)

Vậy phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X là:

\(y = 0,0688x + 0,4571\)

Bài toán này thuộc loại tính xác suất trong phân phối nhị thức. Gọi X là số hạt lúa lai tạp trong 1000 hạt được chọn. Ta có X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) với n = 1000 và p = 0.02. Vì n lớn và p nhỏ, ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poisson với tham số λ = np = 1000 * 0.02 = 20.

Chúng ta cần tính P(17 ≤ X ≤ 19) = P(X = 17) + P(X = 18) + P(X = 19). Với phân phối Poisson, P(X = k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!.

Vậy:

P(X = 17) = (e^(-20) * 20^17) / 17! ≈ 0.07488

P(X = 18) = (e^(-20) * 20^18) / 18! ≈ 0.08298

P(X = 19) = (e^(-20) * 20^19) / 19! ≈ 0.08735

P(17 ≤ X ≤ 19) = 0.07488 + 0.08298 + 0.08735 ≈ 0.24521

Giá trị gần nhất với kết quả tính toán là 0,2492.

Để tính tỉ lệ nam giới có chiều cao từ 1,65m đến 1,75m, ta cần chuẩn hóa biến ngẫu nhiên X theo phân phối chuẩn tắc Z.

X ~ N(165, 25), tức là X có trung bình μ = 165 và độ lệch chuẩn σ = √25 = 5.

Ta cần tính P(165 ≤ X ≤ 175).

Chuẩn hóa X về Z, ta có công thức: Z = (X - μ) / σ

Khi X = 165, Z₁ = (165 - 165) / 5 = 0

Khi X = 175, Z₂ = (175 - 165) / 5 = 2

Vậy, P(165 ≤ X ≤ 175) = P(0 ≤ Z ≤ 2) = Φ(2) - Φ(0)

Trong đó, Φ(z) là hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn tắc.

Tra bảng phân phối chuẩn tắc, ta có:

Φ(0) = 0.5

Φ(2) = 0.9772

Vậy, P(0 ≤ Z ≤ 2) = 0.9772 - 0.5 = 0.4772

Do đó, tỉ lệ nam giới có chiều cao từ 1,65m đến 1,75m là 0.4772 hay 47.72%.

Vậy đáp án đúng là 47,73%.