Cho hai định thức \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 5}&1\\ 1&{ - 3}&0&{ - 6}\\ 0&2&{ - 1}&2\\ 1&4&{ - 7}&6 \end{array}} \right|\) và \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&0&2\\ 1&{ - 3}&2&4\\ { - 5}&0&{ - 1}&{ - 7}\\ 1&{ - 6}&2&6 \end{array}} \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án đúng: C
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
Câu hỏi liên quan
Ma trận A là ma trận tam giác dưới, do đó định thức của A bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
det(A) = (-1) * 1 * 1 = -1.
Ta có công thức det(An) = (det(A))n.
Vậy det(A2011) = (det(A))2011 = (-1)2011 = -1.
1. Tính det(A):
\(\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(2*5 - 1*3) - 1(1*5 - 1*2) + 1(1*3 - 2*2) = 1(10 - 3) - 1(5 - 2) + 1(3 - 4) = 7 - 3 - 1 = 3\)
2. Tính det(B):
\(\det(B) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(4*0 - 1*0) - 0 + 0 = 1\), ta khai triển theo cột 3, do 2 phần tử bằng 0.
Hoặc tính bằng khai triển theo hàng 3: \(\det(B) = 1*(4*0 - 1*1) = 1*(0 - 1) = -1\) => sai. Tính lại:
\(\det(B) = 1 * (1*0 - 0*0) - 0 + 0 = 0\).
Tính theo hàng 1: \(3*(1*0 - 0*0) - 4*(-2*0 - 1*0) + 1*(-2*0 - 1*1) = -1\).
Vậy det(B) = -1.
3. Tính det(A-1):
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3}\)
4. Tính det(B2n+1):
\(\det(B^{2n+1}) = (\det(B))^{2n+1} = (-1)^{2n+1} = -1\)
5. Tính det(A-1 * B2n+1):
\(\det(A^{-1} B^{2n+1}) = \det(A^{-1}) * \det(B^{2n+1}) = \frac{1}{3} * (-1) = -\frac{1}{3}\)
Vậy đáp án là \(-\frac{1}{3}\).
Ma trận A có kích thước 4x5, nghĩa là có 4 hàng và 5 cột. Ma trận X có kích thước 5x1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với X là một vector cột 5x1. Vì số ẩn (5) lớn hơn số phương trình (4), nên hệ AX = 0 luôn có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không). Điều này xuất phát từ việc hạng của ma trận A tối đa là 4 (do chỉ có 4 hàng), và do đó, sẽ có ít nhất một biến tự do, dẫn đến vô số nghiệm, bao gồm cả nghiệm khác không. Do đó, khẳng định "Hệ AX = 0 có nghiệm khác không" là đúng.
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 { (1)}\\
3x + 7y - 2z = 5 { (2)}\\
2x + 5y + z = 3 { (3)}\\
x + 3y + 3z = 1 { (4)}
\end{array} \right.\)
Lấy (2) - 3*(1), (3) - 2*(1), (4) - (1), ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
y + 5z = -1 \\
y + 5z = -1
\end{array} \right.\)
Lấy (3) - (2) và (4) - (2), ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
z = 0 \\
z = 0
\end{array} \right.\)
Thay z = 0 vào phương trình (2), ta có y + 4*0 = -1 => y = -1
Thay y = -1 và z = 0 vào phương trình (1), ta có x + 2*(-1) - 2*0 = 2 => x - 2 = 2 => x = 4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4, -1, 0).
Kiểm tra lại với các phương trình ban đầu:
(1): 4 + 2*(-1) - 2*0 = 4 - 2 = 2 (đúng)
(2): 3*4 + 7*(-1) - 2*0 = 12 - 7 = 5 (đúng)
(3): 2*4 + 5*(-1) + 0 = 8 - 5 = 3 (đúng)
(4): 4 + 3*(-1) + 3*0 = 4 - 3 = 1 (đúng)
Vì không có đáp án nào trùng với nghiệm (4, -1, 0) nên đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".
Hệ thứ hai có định thức:
Để hai hệ không tương đương thì hệ thứ nhất vô nghiệm hoặc có nghiệm khác với nghiệm của hệ thứ hai.
Nghiệm của hệ thứ hai là \(x=-4, y=-1, z=3\)
Hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(D = 0\) và \(D_x\) hoặc \(D_y\) hoặc \(D_z\) khác 0.
\(D = 0 \Leftrightarrow -5m+26 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{26}{5}\)
Khi \(m = \frac{26}{5}\) thì \(D_z = 24 \ne 0\). Vậy hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(m = \frac{26}{5}\)
Xét \(m \ne \frac{26}{5}\), khi đó hệ thứ nhất có nghiệm duy nhất.
\(x = \frac{-11m-1}{-5m+26} = -4 \Leftrightarrow -11m-1 = 20m - 104 \Leftrightarrow 31m = 103 \Leftrightarrow m = \frac{103}{31}\)
\(y = \frac{3m-6}{-5m+26} = -1 \Leftrightarrow 3m-6 = 5m - 26 \Leftrightarrow 2m = 20 \Leftrightarrow m = 10\)
\(z = \frac{24}{-5m+26} = 3 \Leftrightarrow -5m+26 = 8 \Leftrightarrow 5m = 18 \Leftrightarrow m = \frac{18}{5}\)
Vậy không tồn tại m để hai hệ không tương đương.
