Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất bằng 0?

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }} + {\rm{ }}mz{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \end{array} \right.\)

\(m \ne \frac{1}{3}\)

m = 0.

\(m \ne 3\)

\(m \ne \frac{11}{3}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất bằng 0 khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&1\\ 2&1&3\\ 3&4&m \end{array}} \right)\)

Tính định thức của ma trận A:

\(\begin{array}{l} det(A) = 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 4&m \end{array}} \right| - 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 3&m \end{array}} \right| + 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 3&4 \end{array}} \right|\\ = (m - 12) - 2(2m - 9) + (8 - 3)\\ = m - 12 - 4m + 18 + 5\\ = - 3m + 11 \end{array}\)

Để hệ có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) thì det(A) ≠ 0.

\( - 3m + 11 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{{11}}{3}\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 33:

Cho \(A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 3&{ - 1}&2 \end{array}} \right)\). Tính \(\det \mathop {{\rm{[}}\mathop {(3A)}\nolimits^{ - 1} )}\nolimits^T \)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đầu tiên, ta tính định thức của A: det(A) = 1*(1*2 - 0*(-1)) - 0 + 0 = 2.
Tiếp theo, ta tính det(3A). Vì A là ma trận vuông cấp 3, nên det(3A) = 3^3 * det(A) = 27 * 2 = 54.
Ta có det((3A)^(-1)) = 1/det(3A) = 1/54.
Cuối cùng, det((3A)^(-1))^T = det((3A)^(-1)) = 1/54.

Câu 34:

Cho |A |=2, |B|= 3, và \(A, B\in \mathop M\nolimits_2 \)[R]\). Tính det(2AB)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có det(2AB) = det(2I)det(A)det(B) = 2^2 det(A)det(B) = 4*2*3 = 24. Vì không có đáp án nào đúng nên chọn CCKĐS

Câu 35:

Cho ma trận vuông A cấp 2 có các phần tử là 2 hoặc -2. Khẳng định nào sau đây là đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ma trận A cấp 2 có các phần tử là 2 hoặc -2. Gọi A = \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) với a, b, c, d \(\in\) {2, -2}.

Ta có det(A) = ad - bc.

Khi đó, det(3A) = det(\(3\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)) = det(\( \begin{bmatrix} 3a & 3b \\ 3c & 3d \end{bmatrix}\)) = (3a)(3d) - (3b)(3c) = 9(ad - bc) = 9det(A).

Vì a, b, c, d \(\in\) {2, -2}, nên ad \(\in\) {4, -4} và bc \(\in\) {4, -4}. Do đó, det(A) = ad - bc có thể nhận các giá trị: 4 - 4 = 0, 4 - (-4) = 8, -4 - 4 = -8, -4 - (-4) = 0.

Suy ra, det(3A) = 9det(A) có thể nhận các giá trị: 9(0) = 0, 9(8) = 72, 9(-8) = -72.

Vậy det(3A) = -72 là một giá trị có thể xảy ra.

Câu 36:

Giải phương trình sau: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{\mathop x\nolimits^2 }&{\mathop x\nolimits^3 }\\ 1&a&{\mathop a\nolimits^2 }&{\mathop a\nolimits^3 }\\ 1&b&{\mathop b\nolimits^2 }&{\mathop b\nolimits^3 }\\ 1&c&{\mathop c\nolimits^2 }&{\mathop c\nolimits^3 } \end{array}} \right|\).Biết a,b,c là 3 số thực khác nhau từng đôi một.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Định thức đã cho là định thức Vandermonde. Ta có:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&x&{\mathop x\nolimits^2 }&{\mathop x\nolimits^3 }\\
1&a&{\mathop a\nolimits^2 }&{\mathop a\nolimits^3 }\\
1&b&{\mathop b\nolimits^2 }&{\mathop b\nolimits^3 }\\
1&c&{\mathop c\nolimits^2 }&{\mathop c\nolimits^3 }
\end{array}} \right| = (a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(c-a)(c-b)\)

Do a, b, c khác nhau từng đôi một nên (b-a)(c-a)(c-b) khác 0. Vì vậy, phương trình tương đương với:

(a-x)(b-x)(c-x) = 0

Phương trình này có 3 nghiệm là x = a, x = b, x = c.

Câu 37:

Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&x&1\\ 1&{ - 2}&{\mathop x\nolimits^2 }&1\\ 2&1&3&0\\ { - 2}&1&2&4 \end{array}} \right| = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để giải phương trình định thức, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức:
Ta có định thức:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&x&1\\
1&{ - 2}&{\mathop x\nolimits^2 }&1\\
2&1&3&0\\
{ - 2}&1&2&4
\end{array}} \right| = 0\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc cột) để đơn giản hóa định thức. Cụ thể, ta thực hiện phép biến đổi R2 = R2 - R1:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&x&1\\
0&{0}&{\mathop x\nolimits^2 -x }&0\\
2&1&3&0\\
{ - 2}&1&2&4
\end{array}} \right| = 0\)

Khai triển định thức theo dòng 2:
\((-1)^{2+3}(x^2-x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&1\\
2&1&0\\
{ - 2}&1&4
\end{array}} \right| = 0\)

Tính định thức con:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&1\\
2&1&0\\
{ - 2}&1&4
\end{array}} \right| = 1(1.4 - 0.1) - (-2)(2.4-0.(-2)) + 1(2.1 - 1.(-2)) = 4 + 16 + 4 = 24\)

Vậy phương trình trở thành:
\(-(x^2 - x)).24 = 0\)
\(-24x(x - 1) = 0\)

2. Giải phương trình:
Từ phương trình trên, ta có hai nghiệm:
x = 0 hoặc x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 1.

Câu 38:

Tìm tọa độ của vecto \(P(x)= x^2 +2x-2\) trong cơ sở \(E={x^2+x+1,x,1}\)

Lời giải: