Trong \(\mathop R\nolimits_2\) có 2 cơ sở E = { (1,1) , (2,3)} và F = {(1,-1) , (1,0)}. Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở E là (-1,2).Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

(-5,8)

(8,-5)

(-2,1)

(1,2)

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Gọi x là vector cần tìm. Vì tọa độ của x trong cơ sở E là (-1, 2), ta có: x = -1*(1,1) + 2*(2,3) = (-1, -1) + (4, 6) = (3, 5). Gọi (a, b) là tọa độ của x trong cơ sở F. Khi đó, x = a*(1,-1) + b*(1,0) = (a+b, -a). Ta có hệ phương trình: a + b = 3 -a = 5 Giải hệ phương trình, ta được a = -5 và b = 8. Vậy, tọa độ của x trong cơ sở F là (-5, 8).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 40:

Cho V =<x, y, z, t>. Giả sử t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z, nên t = ax + by + cz với a, b, c là các số thực nào đó. Điều này có nghĩa là không gian sinh bởi {x, y, z} cũng chính là không gian sinh bởi {x, y, z, t}, tức là V. Do đó, {x, y, z} là tập sinh của V. Các phương án khác không đúng vì:
- 2x + y + 3t chắc chắn là một vector của V vì V là không gian vector và đóng với phép cộng và phép nhân với một số.
- x, y, t không nhất thiết độc lập tuyến tính vì t phụ thuộc tuyến tính vào x và y (và z).
- Vì phương án 4 đúng, nên phương án '3 câu kia đều sai' không thể đúng.

Câu 41:

Trong không gian vecto R³ cho các ba vecto x₁ = (1 ,1 ,1 ), x₂ = (0, 1, 1), x₃ = (0, 1, m). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2, ta cần tìm các số a, b sao cho x3 = a*x1 + b*x2. Tức là: (0, 1, m) = a*(1, 1, 1) + b*(0, 1, 1) = (a, a+b, a+b). Từ đây ta có hệ phương trình:
a = 0
a + b = 1
a + b = m
Thay a = 0 vào a + b = 1, ta được b = 1. Thay a = 0 và b = 1 vào a + b = m, ta được m = 1.
Vậy, với m = 1 thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2.

Câu 42:

Cho không gian vecto V =< x, y, z, t >, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đâu luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì {x, y, z} độc lập tuyến tính và V = , ta có hai trường hợp:

* Trường hợp 1: t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khi đó, V = và dim(V) = 3.
* Trường hợp 2: t không là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khi đó, {x, y, z, t} độc lập tuyến tính và dim(V) = 4.

Xét các phương án:

* Phương án 1: t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Điều này có thể xảy ra nhưng không phải lúc nào cũng đúng (Trường hợp 2).
* Phương án 2: dim(V) = 3. Điều này có thể xảy ra nhưng không phải lúc nào cũng đúng (Trường hợp 2).
* Phương án 3: {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính. Nếu t là tổ hợp tuyến tính của x và y thì {x, y, t} phụ thuộc tuyến tính. Nếu t không là tổ hợp tuyến tính của x và y thì {x, y, t} độc lập tuyến tính. Do đó, khẳng định này sai.
* Phương án 4: x là tổ hợp tuyến tính của 2x, y, z. Ta có thể viết x = (1/2) * 2x + 0*y + 0*z. Vậy x luôn là tổ hợp tuyến tính của 2x, y, z.

Vậy phương án đúng là phương án 4.

Câu 43:

Cho \(V =< ( 1 , 1 , 0, 0 ) , ( 2, 1 , −1 , 3 ) , ( 1 ,2, 0, 1 ) , ( 4,5, −1 ,5 ) >\). Tìm m để \(( 3, −1 ,2, m) \in V\).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta cần tìm m sao cho (3, -1, 2, m) là tổ hợp tuyến tính của các vector trong V. Tức là, tồn tại các số a, b, c, d sao cho:
(3, -1, 2, m) = a(1, 1, 0, 0) + b(2, 1, -1, 3) + c(1, 2, 0, 1) + d(4, 5, -1, 5)

Điều này tương đương với hệ phương trình:
1. a + 2b + c + 4d = 3
2. a + b + 2c + 5d = -1
3. -b - d = 2
4. 3b + c + 5d = m

Từ (3), ta có b = -d - 2. Thay vào (1) và (2):
1. a + 2(-d - 2) + c + 4d = 3 => a + 2d + c = 7
2. a + (-d - 2) + 2c + 5d = -1 => a + 4d + 2c = 1

Lấy (2) trừ (1), ta có:
2d + c = -6 => c = -2d - 6

Thay c vào (1):
a + 2d - 2d - 6 = 7 => a = 13

Thay b = -d - 2 và c = -2d - 6 vào (4):
3(-d - 2) + (-2d - 6) + 5d = m
-3d - 6 - 2d - 6 + 5d = m
-12 = m
Vậy, m = -12.

Câu 44:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 0 ) , ( 3,2, 1 ,1 ) , ( 4, 3, 1 , m) >\). Tìm m để dim(V) lớn nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm m để dim(V) lớn nhất, ta cần tìm m sao cho các vector trong V độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.

Ta xét ma trận:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & m \end{bmatrix}\)

Để tìm định thức của ma trận này, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -3 & m-4 \end{bmatrix}\)

H3 = H3 - H2
H4 = H4 - H2

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & m-2 \end{bmatrix}\)

Để các vector độc lập tuyến tính, định thức của ma trận con 3x3 (từ hàng 2 trở xuống, bỏ cột 1) phải khác 0:

\(\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & -4 & m-2 \end{vmatrix} = (-1)(-3)(m-2) = 3(m-2)\)

Để định thức khác 0, ta cần 3(m-2) \(\ne\) 0, suy ra m \(\ne\) 2.

Vậy, để dim(V) lớn nhất, m phải khác 2.

Câu 45:

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là cơ sở. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải: