Cho V =. Giả sử t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khẳng định nào luôn đúng?

Để x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂, ta cần tìm các số thực a và b sao cho:

x₃ = a*x₁ + b*x₂

(0, 1, m) = a*(1, 1, 1) + b*(0, 1, 1)

(0, 1, m) = (a, a + b, a + b)

Từ đó, ta có hệ phương trình:

a = 0

a + b = 1

a + b = m

Thay a = 0 vào phương trình a + b = 1, ta được b = 1.

Thay a = 0 và b = 1 vào phương trình a + b = m, ta được m = 0 + 1 = 1.

Vậy, với m = 1 thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂.

Ta cần tìm m sao cho (3, -1, 2, m) là tổ hợp tuyến tính của các vector trong V. Tức là, tồn tại các số a, b, c, d sao cho: (3, -1, 2, m) = a(1, 1, 0, 0) + b(2, 1, -1, 3) + c(1, 2, 0, 1) + d(4, 5, -1, 5) Điều này tương đương với hệ phương trình: 1. a + 2b + c + 4d = 3 2. a + b + 2c + 5d = -1 3. -b - d = 2 4. 3b + c + 5d = m Từ (3), ta có b = -d - 2. Thay vào (1) và (2): 1. a + 2(-d - 2) + c + 4d = 3 => a + 2d + c = 7 2. a + (-d - 2) + 2c + 5d = -1 => a + 4d + 2c = 1 Lấy (2) trừ (1), ta có: 2d + c = -6 => c = -2d - 6 Thay c vào (1): a + 2d - 2d - 6 = 7 => a = 13 Thay b = -d - 2 và c = -2d - 6 vào (4): 3(-d - 2) + (-2d - 6) + 5d = m -3d - 6 - 2d - 6 + 5d = m -12 = m Vậy, m = -12.

Phân tích các đáp án:

• Đáp án 1: {x, y, 3z, x − y} sinh ra không gian 2 chiều là sai vì {x, y, 3z} đã là cơ sở của V nên sinh ra V (không gian 3 chiều). Khi thêm x-y vào thì nó vẫn sinh ra V.


• Đáp án 2: {2x, x + y, x − y, 3z} tập sinh của V là đúng. Vì {x, y, z} là cơ sở của V nên mọi vecto trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Do đó, mọi tập sinh chứa x, y, z đều là tập sinh của V. Ở đây, {2x, x + y, x − y, 3z} chứa x, y, z nên là tập sinh của V. Thật vậy, ta có thể biểu diễn x, y, z qua {2x, x + y, x − y, 3z} như sau: x = 1/2 * (2x), y = 1/2 * ((x+y) - (x-y)), z = 1/3 * (3z).


• Đáp án 3: {x + y + z, 2x + 3y + z, y − z} sinh ra V là sai. Vì số chiều của không gian sinh bởi {x + y + z, 2x + 3y + z, y − z} <= 3. Để kiểm tra xem có sinh ra V không, ta kiểm tra xem các vecto này có độc lập tuyến tính hay không. Xét hệ phương trình tuyến tính a(x + y + z) + b(2x + 3y + z) + c(y − z) = 0. Tương đương (a+2b)x + (a+3b+c)y + (a+b-c)z = 0. Vì {x, y, z} là cơ sở nên ta có hệ a+2b = 0, a+3b+c = 0, a+b-c = 0. Giải hệ này ta được a = -2b, c = -b, tức là có vô số nghiệm, nên các vecto này phụ thuộc tuyến tính, do đó không thể sinh ra V.


• Đáp án 4: Hạng của {x, y, x + 2y} bằng 3 là sai. Hạng của {x, y, x + 2y} bằng 2 vì x+2y là tổ hợp tuyến tính của x, y.

Vậy đáp án đúng là đáp án 2.