Cho \(E = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right]} \right\}\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{14}\\ 6&{21} \end{array}} \right]\) trong cơ sở E.

Câu 1:

Hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = - 6\\ 5x + 8y = 1\\ {a^2}x + 3ay = - 9 \end{array} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình đầu để tìm nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = - 6 \\ 5x + 8y = 1 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 32x + 24y = - 48 \\ 15x + 24y = 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x = - 51 \\ 4x + 3y = - 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ 4(-3) + 3y = - 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ 3y = 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, nghiệm này phải thỏa mãn phương trình thứ ba.
Thay x = -3 và y = 2 vào phương trình thứ ba, ta được:
\(a^2(-3) + 3a(2) = -9 \Leftrightarrow -3a^2 + 6a = -9 \Leftrightarrow -3a^2 + 6a + 9 = 0 \Leftrightarrow a^2 - 2a - 3 = 0 \Leftrightarrow (a + 1)(a - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 3 \end{array} \right.\)

Câu 2:

Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,2}&{0,1}\\ {0,3}&{0,4} \end{array}} \right]\). Gọi x₁, x₂ lần lượt là gía trị sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, d₁, d₂ lần lượt là yêu cầu cùa ngành mở đối với ngành 1; 2. Khi đó, nếu \(({x_1};{x_2}) = (200;300)\) thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Công thức tính sản lượng đầu ra trong mô hình Input-Output mở là: X = AX + D, trong đó X là vector sản lượng đầu ra, A là ma trận hệ số đầu vào, và D là vector cầu cuối. Từ đó suy ra D = X - AX = (I - A)X, với I là ma trận đơn vị. Trong bài toán này, ta có:

X = \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\), A = \(\begin{bmatrix} 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}\)

Vậy D = \(\begin{bmatrix} 1-0.2 & 0-0.1 \\ 0-0.3 & 1-0.4 \end{bmatrix}\) * \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0.8 & -0.1 \\ -0.3 & 0.6 \end{bmatrix}\) * \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0.8*200 - 0.1*300 \\ -0.3*200 + 0.6*300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 160 - 30 \\ -60 + 180 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 130 \\ 120 \end{bmatrix}\)

Do đó, (d1; d2) = (130; 120).

Câu 3:

Cho A là ma trận vuông cấp n với \(n \ge 2\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xét các phương án:

1. Phương án 1: |3A| = 3|A|
* Đây là phương án sai. Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì |kA| = k^n |A|. Trong trường hợp này, |3A| = 3^n |A|.

2. Phương án 2: |-A| = |A|
* Phương án này chỉ đúng khi n chẵn. Nếu n lẻ thì |-A| = (-1)^n |A| = -|A|. Vì đề bài không nói rõ n chẵn hay lẻ, nên phương án này không đúng trong mọi trường hợp.

3. Phương án 3: Nếu |A| = 0 thì có 1 vectơ cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại.
* Đây là một khẳng định đúng. Nếu định thức của ma trận A bằng 0, điều đó có nghĩa là các cột của A phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với việc ít nhất một vectơ cột có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại.

Vậy phương án 3 là đáp án đúng.

Câu 4:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1}&1&1\\ 1&1&{m - 1}\\ 1&{m - 1}&1 \end{array}} \right)\). A không khả đảo khi và chỉ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để ma trận A không khả đảo, định thức của nó phải bằng 0. Ta tính định thức của A:

\(\begin{vmatrix}
m - 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & m - 1 \\
1 & m - 1 & 1
\end{vmatrix} = (m-1)\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{vmatrix}\)

\(= (m-1)(1 - (m-1)^2) - (1 - (m-1)) + (m-1 - 1)\)

\(= (m-1)(1 - (m^2 - 2m + 1)) - (2-m) + (m-2)\)

\(= (m-1)(1 - m^2 + 2m - 1) - 2 + m + m - 2\)

\(= (m-1)(-m^2 + 2m) + 2m - 4\)

\(= -m^3 + 2m^2 + m^2 - 2m + 2m - 4\)

\(= -m^3 + 3m^2 - 4\)

Ta cần giải phương trình \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\). Ta có thể thấy m = 2 là một nghiệm, vì \(-8 + 12 - 4 = 0\). Chia đa thức \(-m^3 + 3m^2 - 4\) cho \(m - 2\), ta được:

\(-m^3 + 3m^2 - 4 = (m - 2)(-m^2 + m + 2)\)

Tiếp tục phân tích \(-m^2 + m + 2 = -(m^2 - m - 2) = -(m - 2)(m + 1)\).

Vậy, \(-m^3 + 3m^2 - 4 = -(m - 2)^2 (m + 1)\).

Để \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\), ta có \((m - 2)^2 (m + 1) = 0\), suy ra \(m = 2\) hoặc \(m = -1\).

Vậy A không khả đảo khi và chỉ khi m = 2 hoặc m = -1.

Câu 5:

Giải phương trình \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = 0\) trong C, biết z = i là một nghiệm:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì z = i là một nghiệm của phương trình nên z = -i cũng là một nghiệm. Do đó, \((z - i)(z + i) = {z^2} + 1\) là một nhân tử của đa thức \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2\). Ta thực hiện phép chia đa thức, ta được: \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = ({z^2} + 1)({z^2} + z + 2)\). Bây giờ, ta giải phương trình \({z^2} + z + 2 = 0\). Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.2 = - 7\). Vậy \(\sqrt \Delta = \pm i\sqrt 7 \). Suy ra, nghiệm của phương trình là \({z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\). Vậy phương trình có 4 nghiệm là \(z = \pm i;z = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\).

Câu 6:

Tính \(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}}\)

Lời giải: