Tập hợp tất cả các số phức \({e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi );\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) trong mặt phẳng phức là:

Nửa đường tròn

Nửa đường thẳng

Đường tròn

Đường thẳng

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Số phức \(z = {e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) có mô-đun là \(|z| = {e^4}\).

Vì \(\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\), nên các số phức này nằm trên nửa đường tròn tâm O, bán kính \({e^4}\), thuộc nửa mặt phẳng bên dưới trục Ox.

Vậy tập hợp các số phức đã cho là nửa đường tròn.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Nghiệm của phương trình \(z^3 =1\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Phương trình \(z^3 = 1\) có thể viết lại thành \(z^3 - 1 = 0\). Phân tích thành nhân tử, ta có \((z - 1)(z^2 + z + 1) = 0\). Vậy, một nghiệm là \(z = 1\). Xét phương trình bậc hai \(z^2 + z + 1 = 0\). Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\(\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3\)

\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}\)

\(z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy, các nghiệm của phương trình là \(z = 1\), \(z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\) và \(z = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Câu 11:

Tính modun của số phức: \(z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(i^{2009} = i^{2008}.i = (i^4)^{502}.i = 1^{502}.i = i\)
\(z = \frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i - 4i^2}{-i^2} = \frac{-3i + 4}{1} = 4 - 3i\)
\(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

Câu 13:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 2x3, ma trận B có kích thước 3x3. Vì số cột của A bằng số hàng của B nên tích AB xác định và có kích thước 2x3. Ta có:

AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3\\
2&0&4
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&0\\
2&0&0\\
3&4&0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*1 + 2*0 + 3*4 & 1*0 + 2*0 + 3*0 \\
2*1 + 0*2 + 4*3 & 2*1 + 0*0 + 4*4 & 2*0 + 0*0 + 4*0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 + 4 + 9 & 1 + 0 + 12 & 0 + 0 + 0 \\
2 + 0 + 12 & 2 + 0 + 16 & 0 + 0 + 0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
14 & 13 & 0 \\
14 & 18 & 0
\end{array}} \right]\)

Vậy đáp án đúng là AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}&{13}&0\\
{14}&{18}&0
\end{array}} \right]\).

Câu 14:

Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm hạng của ma trận A, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa ma trận về dạng bậc thang.

Cho ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&-1&2\\
2&3&5&3&5\\
4&7&7&7&5\\
3&3&6&-2&8\\
6&8&15&-4&-8
\end{array}} \right]\)

Thực hiện các phép biến đổi sau:

* H2 = H2 - 2H1

* H3 = H3 - 4H1

* H4 = H4 - 3H1

* H5 = H5 - 6H1

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&-1&2\\
0&1&1&5&1\\
0&3&-1&11&-3\\
0&0&0&1&2\\
0&2&3&2&-20
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:

* H3 = H3 - 3H2

* H5 = H5 - 2H2

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&-1&2\\
0&1&1&5&1\\
0&0&-4&-4&-6\\
0&0&0&1&2\\
0&0&1&-8&-22
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:

* H5 = H5 + (1/4)H3

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&-1&2\\
0&1&1&5&1\\
0&0&-4&-4&-6\\
0&0&0&1&2\\
0&0&0&-9&-23.5
\end{array}} \right]\)

Tiếp tục biến đổi:

* H5 = H5 + 9H4

Ta được:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2&-1&2\\
0&1&1&5&1\\
0&0&-4&-4&-6\\
0&0&0&1&2\\
0&0&0&0&-5.5
\end{array}} \right]\)

Vậy hạng của ma trận A là 5.

Câu 15:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,0,1,1)^T.

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1,0,1,1)^T. Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) và \(n=4\). Vậy \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = -i\). Ma trận Fourier \(F_4\) có dạng: \(F_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & z^2 & z^4 & z^6 \\ 1 & z^3 & z^6 & z^9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}\) Khi đó, \(F_4 . X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+1+1 \\ 1+0-1+i \\ 1+0+1-1 \\ 1+0-1-i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ i \\ 1 \\ -i \end{bmatrix}\) Vậy biến đổi Fourier của vector X là (3, i, 1, -i)^T.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(r({A^n}) = 0\)

Lời giải: