Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1,0,1,1)^T. Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) và \(n=4\). Vậy \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = -i\). Ma trận Fourier \(F_4\) có dạng: \(F_4 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & z & z^2 & z^3 \\ 1 & z^2 & z^4 & z^6 \\ 1 & z^3 & z^6 & z^9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix}\) Khi đó, \(F_4 . X = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -i & -1 & i \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & i & -1 & -i \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0+1+1 \\ 1+0-1+i \\ 1+0+1-1 \\ 1+0-1-i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ i \\ 1 \\ -i \end{bmatrix}\) Vậy biến đổi Fourier của vector X là (3, i, 1, -i)^T.

Để tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho r(A^n) = 0, ta cần tìm hiểu về ma trận A và lũy thừa của nó.
Nhận xét: Ma trận A có hai hàng giống nhau (hàng 1 và hàng 3), do đó det(A) = 0. Điều này có nghĩa là A là ma trận suy biến (singular matrix).
Ta tính A^2:
A^2 = A * A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) * \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ 4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1}\\
{ 6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\
{ 4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1}
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
{ - 1}&0&1\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right]\)

Ta thấy A^2 có các hàng giống nhau, nên rank(A^2) = 1. Vì A^2 khác ma trận không, nên n > 2.

Tính A^3 = A^2 * A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&0&1\\
{ - 1}&0&1\\
{ - 1}&0&1
\end{array}} \right]\) * \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ 2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\
{ 2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\
{ 2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
0&0&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}} \right]\)

Vậy A^3 = 0, tức là r(A^3) = 0. Do đó, n = 3 là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn.