Cho \(det (A) = 3, det (B) = 1\). Tính det ((2AB)⁻¹), biết rằng A, B là ma trận vuông cấp 3.

\(\frac{1}{{24}}\)

\(\frac{2}{{3}}\)

\(\frac{8}{{3}}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có các công thức sau:

- det(AB) = det(A) * det(B)

- det(kA) = kⁿ * det(A) với A là ma trận vuông cấp n.

- det(A^-1) = 1 / det(A)

Do đó, det((2AB)⁻¹) = 1 / det(2AB) = 1 / (2³ * det(A) * det(B)) = 1 / (8 * 3 * 1) = 1 / 24

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 24:

Cho hai định thức \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1&{ - 5}&1\\ 1&{ - 3}&0&{ - 6}\\ 0&2&{ - 1}&2\\ 1&4&{ - 7}&6 \end{array}} \right|\) và \(A = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2&0&2\\ 1&{ - 3}&2&4\\ { - 5}&0&{ - 1}&{ - 7}\\ 1&{ - 6}&2&6 \end{array}} \right|\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đầu tiên, ta xét định thức A. Biến đổi định thức B bằng cách đổi chỗ cột 1 và cột 3, ta được định thức mới có giá trị bằng -B. Tiếp theo, nhân cột 1 với 2 ta được định thức có giá trị bằng -2B. Khi đó định thức có dạng:

\(-2B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&2&4&2\\
2&{ - 3}&1&4\\
{ - 1}&0&{ - 5}&{ - 7}\\
2&{ - 6}&1&6
\end{array}} \right|\)

Đổi chỗ cột 1 và cột 3 một lần nữa, ta được định thức có giá trị bằng 2B.

\(2B = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&2&0&2\\
1&{ - 3}&2&4\\
{ - 5}&0&{ - 1}&{ - 7}\\
1&{ - 6}&2&6
\end{array}} \right|\)

Nhận thấy rằng định thức này bằng với định thức A.
Vậy A = 2B hay B = A/2. Do đó, không có đáp án nào đúng trong các đáp án đã cho.

Câu 25:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 2&1&0\\ 4&3&1 \end{array}} \right]\).Tính det(A²⁰¹¹)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ma trận A là ma trận tam giác dưới, do đó định thức của A bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

det(A) = (-1) * 1 * 1 = -1.

Ta có công thức det(Aⁿ) = (det(A))ⁿ.

Vậy det(A²⁰¹¹) = (det(A))²⁰¹¹ = (-1)²⁰¹¹ = -1.

Câu 26:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 2&3&5 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1\\ { - 2}&1&0\\ 1&0&0 \end{array}} \right]\). Tính det( A⁻¹. B2ⁿ⁺¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính định thức của ma trận A và B, sau đó áp dụng các quy tắc về định thức của ma trận nghịch đảo và tích của ma trận.

1. Tính det(A):
\(\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(2*5 - 1*3) - 1(1*5 - 1*2) + 1(1*3 - 2*2) = 1(10 - 3) - 1(5 - 2) + 1(3 - 4) = 7 - 3 - 1 = 3\)

2. Tính det(B):
\(\det(B) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(4*0 - 1*0) - 0 + 0 = 1\), ta khai triển theo cột 3, do 2 phần tử bằng 0.
Hoặc tính bằng khai triển theo hàng 3: \(\det(B) = 1*(4*0 - 1*1) = 1*(0 - 1) = -1\) => sai. Tính lại:
\(\det(B) = 1 * (1*0 - 0*0) - 0 + 0 = 0\).
Tính theo hàng 1: \(3*(1*0 - 0*0) - 4*(-2*0 - 1*0) + 1*(-2*0 - 1*1) = -1\).

Vậy det(B) = -1.

3. Tính det(A^-1):
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3}\)

4. Tính det(B²ⁿ⁺¹):
\(\det(B^{2n+1}) = (\det(B))^{2n+1} = (-1)^{2n+1} = -1\)

5. Tính det(A^-1 * B²ⁿ⁺¹):
\(\det(A^{-1} B^{2n+1}) = \det(A^{-1}) * \det(B^{2n+1}) = \frac{1}{3} * (-1) = -\frac{1}{3}\)

Vậy đáp án là \(-\frac{1}{3}\).

Câu 27:

Cho ma trận \(A ∈ M_{4,5}( R), X ∈ M_{5,1}(R)\). Khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 4x5, nghĩa là có 4 hàng và 5 cột. Ma trận X có kích thước 5x1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với X là một vector cột 5x1. Vì số ẩn (5) lớn hơn số phương trình (4), nên hệ AX = 0 luôn có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không). Điều này xuất phát từ việc hạng của ma trận A tối đa là 4 (do chỉ có 4 hàng), và do đó, sẽ có ít nhất một biến tự do, dẫn đến vô số nghiệm, bao gồm cả nghiệm khác không. Do đó, khẳng định "Hệ AX = 0 có nghiệm khác không" là đúng.

Câu 28:

Giải hệ phương trình (tìm tất cả nghiệm) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 2\\ 3x + 7y - 2z = 5\\ 2x + 5y + z = 3\\ x + 3y + 3z = 1 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp thế. Ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 { (1)}\\
3x + 7y - 2z = 5 { (2)}\\
2x + 5y + z = 3 { (3)}\\
x + 3y + 3z = 1 { (4)}
\end{array} \right.\)

Lấy (2) - 3*(1), (3) - 2*(1), (4) - (1), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
y + 5z = -1 \\
y + 5z = -1
\end{array} \right.\)

Lấy (3) - (2) và (4) - (2), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
z = 0 \\
z = 0
\end{array} \right.\)

Thay z = 0 vào phương trình (2), ta có y + 4*0 = -1 => y = -1

Thay y = -1 và z = 0 vào phương trình (1), ta có x + 2*(-1) - 2*0 = 2 => x - 2 = 2 => x = 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4, -1, 0).

Kiểm tra lại với các phương trình ban đầu:

(1): 4 + 2*(-1) - 2*0 = 4 - 2 = 2 (đúng)
(2): 3*4 + 7*(-1) - 2*0 = 12 - 7 = 5 (đúng)
(3): 2*4 + 5*(-1) + 0 = 8 - 5 = 3 (đúng)
(4): 4 + 3*(-1) + 3*0 = 4 - 3 = 1 (đúng)

Vì không có đáp án nào trùng với nghiệm (4, -1, 0) nên đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu 29:

Tìm tất cả m để tất cả hai hệ không tương đương.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1z = 1{\rm{ }}\\ 3x + y + 5z = 6{\rm{ }}\\ 4x + 5y + mz = 1{\rm{ }}0 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 5z = 3 \end{array} \right.\)

Lời giải: