Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm 

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2}z{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần tìm giá trị của m sao cho định thức của ma trận hệ số bằng 0 và định thức của ma trận mở rộng khác 0.

Hệ phương trình đã cho là:

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2}z{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \end{array} \right.\)

Ma trận hệ số của hệ phương trình là:

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & m^2 \end{bmatrix}\)

Tính định thức của A:

\(\det(A) = 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) = 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 = m^2 - 4\)

Để hệ vô nghiệm, \(\det(A) = 0\), suy ra \(m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2\).

Với m = 2, hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \end{array} \right.\)

Từ phương trình 1 và 2, ta có: \(2x + 4y + 2z = 2\). Lấy phương trình 2 trừ đi, ta được: \(y + z = 3\) hay \(z = 3-y\)

Thay vào phương trình 1, ta được: \(x + 2y + 3 - y = 1 \Rightarrow x + y = -2\) hay \(x = -2-y\)

Thay vào phương trình 3, ta được: \(3(-2-y) + 7y + 4(3-y) = 6 \Rightarrow -6 - 3y + 7y + 12 - 4y = 6 \Rightarrow 0y = 0\). Vậy hệ có vô số nghiệm.

Với m = -2, hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \end{array} \right.\)

Hệ này tương tự như trường hợp m = 2 và cũng có vô số nghiệm.

Vậy không tồn tại m để hệ vô nghiệm.