Giải phương trình sau: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{\mathop x\nolimits^2 }&{\mathop x\nolimits^3 }\\ 1&a&{\mathop a\nolimits^2 }&{\mathop a\nolimits^3 }\\ 1&b&{\mathop b\nolimits^2 }&{\mathop b\nolimits^3 }\\ 1&c&{\mathop c\nolimits^2 }&{\mathop c\nolimits^3 } \end{array}} \right|\).Biết a,b,c là 3 số thực khác nhau từng đôi một.

Phương trình vô nghiệm

Phương trình có 3 nghiệm a,b,c

Phương trình có 3 nghiệm a+b.b+c,c+a

Phương trình có 1 nghiệm x=a

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Định thức đã cho là định thức Vandermonde. Ta có: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&x&{\mathop x\nolimits^2 }&{\mathop x\nolimits^3 }\\ 1&a&{\mathop a\nolimits^2 }&{\mathop a\nolimits^3 }\\ 1&b&{\mathop b\nolimits^2 }&{\mathop b\nolimits^3 }\\ 1&c&{\mathop c\nolimits^2 }&{\mathop c\nolimits^3 } \end{array}} \right| = (a-x)(b-x)(c-x)(b-a)(c-a)(c-b)\) Do a, b, c khác nhau từng đôi một nên (b-a)(c-a)(c-b) khác 0. Vì vậy, phương trình tương đương với: (a-x)(b-x)(c-x) = 0 Phương trình này có 3 nghiệm là x = a, x = b, x = c.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 37:

Giải phương trình: \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 2}&x&1\\ 1&{ - 2}&{\mathop x\nolimits^2 }&1\\ 2&1&3&0\\ { - 2}&1&2&4 \end{array}} \right| = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để giải phương trình định thức, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính định thức:
Ta có định thức:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&x&1\\
1&{ - 2}&{\mathop x\nolimits^2 }&1\\
2&1&3&0\\
{ - 2}&1&2&4
\end{array}} \right| = 0\)

Thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng (hoặc cột) để đơn giản hóa định thức. Cụ thể, ta thực hiện phép biến đổi R2 = R2 - R1:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&x&1\\
0&{0}&{\mathop x\nolimits^2 -x }&0\\
2&1&3&0\\
{ - 2}&1&2&4
\end{array}} \right| = 0\)

Khai triển định thức theo dòng 2:
\((-1)^{2+3}(x^2-x)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&1\\
2&1&0\\
{ - 2}&1&4
\end{array}} \right| = 0\)

Tính định thức con:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 2}&1\\
2&1&0\\
{ - 2}&1&4
\end{array}} \right| = 1(1.4 - 0.1) - (-2)(2.4-0.(-2)) + 1(2.1 - 1.(-2)) = 4 + 16 + 4 = 24\)

Vậy phương trình trở thành:
\(-(x^2 - x)).24 = 0\)
\(-24x(x - 1) = 0\)

2. Giải phương trình:
Từ phương trình trên, ta có hai nghiệm:
x = 0 hoặc x = 1.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 1.

Câu 38:

Tìm tọa độ của vecto \(P(x)= x^2 +2x-2\) trong cơ sở \(E={x^2+x+1,x,1}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta cần tìm các hệ số a, b, c sao cho:

\(P(x)= a(x^2 + x + 1) + bx + c = x^2 + 2x - 2\)

\(\Leftrightarrow ax^2 + (a+b)x + a+c = x^2 + 2x - 2\)

Đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} a = 1 \\ a+b = 2 \\ a+c = -2 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \\ c = -3 \\ \end{cases}\)

Vậy tọa độ của vector P(x) trong cơ sở E là (1, 1, -3).

Câu 39:

Trong \(\mathop R\nolimits_2\) có 2 cơ sở E = { (1,1) , (2,3)} và F = {(1,-1) , (1,0)}. Biết rằng tọa độ của x trong cơ sở E là (-1,2).Tìm tọa độ của x trong cơ sở F.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Gọi x là vector cần tìm. Vì tọa độ của x trong cơ sở E là (-1, 2), ta có: x = -1*(1,1) + 2*(2,3) = (-1, -1) + (4, 6) = (3, 5).

Gọi (a, b) là tọa độ của x trong cơ sở F. Khi đó, x = a*(1,-1) + b*(1,0) = (a+b, -a).

Ta có hệ phương trình:
a + b = 3
-a = 5

Giải hệ phương trình, ta được a = -5 và b = 8. Vậy, tọa độ của x trong cơ sở F là (-5, 8).

Câu 40:

Cho V =<x, y, z, t>. Giả sử t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z. Khẳng định nào luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Vì t là tổ hợp tuyến tính của x, y, z, nên t = ax + by + cz với a, b, c là các số thực nào đó. Điều này có nghĩa là không gian sinh bởi {x, y, z} cũng chính là không gian sinh bởi {x, y, z, t}, tức là V. Do đó, {x, y, z} là tập sinh của V. Các phương án khác không đúng vì:
- 2x + y + 3t chắc chắn là một vector của V vì V là không gian vector và đóng với phép cộng và phép nhân với một số.
- x, y, t không nhất thiết độc lập tuyến tính vì t phụ thuộc tuyến tính vào x và y (và z).
- Vì phương án 4 đúng, nên phương án '3 câu kia đều sai' không thể đúng.

Câu 41:

Trong không gian vecto R³ cho các ba vecto x₁ = (1 ,1 ,1 ), x₂ = (0, 1, 1), x₃ = (0, 1, m). Với giá trị nào của m thì x₃ là tổ hợp tuyến tính của x₁ và x₂?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2, ta cần tìm các số a, b sao cho x3 = a*x1 + b*x2. Tức là: (0, 1, m) = a*(1, 1, 1) + b*(0, 1, 1) = (a, a+b, a+b). Từ đây ta có hệ phương trình:
a = 0
a + b = 1
a + b = m
Thay a = 0 vào a + b = 1, ta được b = 1. Thay a = 0 và b = 1 vào a + b = m, ta được m = 1.
Vậy, với m = 1 thì x3 là tổ hợp tuyến tính của x1 và x2.

Câu 42:

Cho không gian vecto V =< x, y, z, t >, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đâu luôn đúng?

Lời giải: