Cho \(V =\). Tìm m để dim(V) lớn nhất.

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là cơ sở. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì E = {x, y, z} là cơ sở của không gian vector V, nên mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Ta xét từng đáp án:

\n

- Đáp án 1: {x, y, 3z, x - y} sinh ra không gian 2 chiều là sai, vì nó sinh ra không gian V (3 chiều).

\n

- Đáp án 2: {2x, x + y, x − y, 3z} là tập sinh của V. Vì {x, y, z} là cơ sở của V, mọi vector trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Ta có thể biểu diễn x, y, z qua {2x, x + y, x − y, 3z}. Thật vậy, từ x + y và x - y, ta có thể tìm ra x và y. Vì vậy, {2x, x + y, x − y, 3z} là tập sinh của V.

\n

- Đáp án 3: {x + y + z, 2x + 3y + z, y − z} sinh ra V là sai, vì 3 vector này độc lập tuyến tính nên chỉ sinh ra một không gian con của V.

\n

- Đáp án 4: Hạng của {x, y, x + 2y} bằng 3 là sai, vì hạng của nó chỉ bằng 2 (do nó có 2 vector độc lập tuyến tính).

Câu 46:

Trong R₃ cho họ vecto \(M = {( 1 ,1 , −1 ) , ( 2, 3,5 ) , ( 3, m, m + 4 ) }\). Với giá trị nào của m thì M không sinh ra R₃?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để M không sinh ra R3, định thức của ma trận tạo bởi các vector trong M phải bằng 0.
Ta có ma trận:

| 1 2 3 |
| 1 3 m |
| -1 5 m+4|

Tính định thức của ma trận này:

1 * (3(m+4) - 5m) - 2 * (1(m+4) - (-1)m) + 3 * (1*5 - (-1)*3)
= (3m + 12 - 5m) - 2(m + 4 + m) + 3(5+3)
= -2m + 12 - 2(2m + 4) + 3(8)
= -2m + 12 - 4m - 8 + 24
= -6m + 28

Để định thức bằng 0, ta giải phương trình:
-6m + 28 = 0
6m = 28
m = 28/6
m = 14/3

Vậy, với m = 14/3 thì M không sinh ra R3.

Câu 47:

Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, −1). Tìm tọa độ của vecto x trong cơ sở \({u, u + v, u + v + w}.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, -1) nghĩa là: x = 1*u + 2*v - 1*w.
Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (a, b, c) nghĩa là: x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)*u + (b+c)*v + c*w.
Đồng nhất hai biểu thức của x, ta có:
a + b + c = 1
b + c = 2
c = -1
Giải hệ phương trình này, ta được: c = -1, b = 2 - c = 3, a = 1 - b - c = 1 - 3 - (-1) = -1.
Vậy, tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (-1, 3, -1).

Câu 48:

Trong không gian R₃ cho cơ sở: \(B = {( 1 , 1 ,1 ) , ( 1 , 1 ,2 ) , ( 0,1 ,2 ) }\). Tìm tọa độ của vecto (3; 4; 5) trong cơ sở B.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi tọa độ của vector (3, 4, 5) trong cơ sở B là (x, y, z). Khi đó, ta có:
(3, 4, 5) = x(1, 1, 1) + y(1, 1, 2) + z(0, 1, 2)
Điều này tương đương với hệ phương trình:
x + y = 3
x + y + z = 4
x + 2y + 2z = 5
Từ phương trình thứ nhất và thứ hai, ta có z = 4 - 3 = 1.
Thay z = 1 vào phương trình thứ ba, ta có x + 2y + 2 = 5, suy ra x + 2y = 3.
Kết hợp với x + y = 3, ta có y = 0 và x = 3.
Vậy tọa độ của vector (3, 4, 5) trong cơ sở B là (3, 0, 1).

Câu 49:

Tìm vecto x biết tọa độ của x trong cơ sở \(E = {( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 ,2, 1 ) ; ( 1 , 1 ,2 ) }\) là [x]_E = (4, 2, 1)^T

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vecto x có tọa độ [x]_E = (4, 2, 1)^T trong cơ sở E = {(1, 1, 1); (1, 2, 1); (1, 1, 2)} nghĩa là:

x = 4*(1, 1, 1) + 2*(1, 2, 1) + 1*(1, 1, 2)

x = (4, 4, 4) + (2, 4, 2) + (1, 1, 2)

x = (4+2+1, 4+4+1, 4+2+2)

x = (7, 9, 8)^T

Vậy đáp án đúng là x = (7, 9, 8)^T.

Câu 50:

Cho \(E = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right]} \right\}\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{14}\\ 6&{21} \end{array}} \right]\) trong cơ sở E.

Lời giải: