Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1}&1&1\\ 1&1&{m - 1}\\ 1&{m - 1}&1 \end{array}} \right)\). A không khả đảo khi và chỉ khi:
Trả lời:
Đáp án đúng: B
Để ma trận A không khả đảo, định thức của nó phải bằng 0. Ta tính định thức của A:
\(\begin{vmatrix}
m - 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & m - 1 \\
1 & m - 1 & 1
\end{vmatrix} = (m-1)\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{vmatrix}\)
\(= (m-1)(1 - (m-1)^2) - (1 - (m-1)) + (m-1 - 1)\)
\(= (m-1)(1 - (m^2 - 2m + 1)) - (2-m) + (m-2)\)
\(= (m-1)(1 - m^2 + 2m - 1) - 2 + m + m - 2\)
\(= (m-1)(-m^2 + 2m) + 2m - 4\)
\(= -m^3 + 2m^2 + m^2 - 2m + 2m - 4\)
\(= -m^3 + 3m^2 - 4\)
Ta cần giải phương trình \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\). Ta có thể thấy m = 2 là một nghiệm, vì \(-8 + 12 - 4 = 0\). Chia đa thức \(-m^3 + 3m^2 - 4\) cho \(m - 2\), ta được:
\(-m^3 + 3m^2 - 4 = (m - 2)(-m^2 + m + 2)\)
Tiếp tục phân tích \(-m^2 + m + 2 = -(m^2 - m - 2) = -(m - 2)(m + 1)\).
Vậy, \(-m^3 + 3m^2 - 4 = -(m - 2)^2 (m + 1)\).
Để \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\), ta có \((m - 2)^2 (m + 1) = 0\), suy ra \(m = 2\) hoặc \(m = -1\).
Vậy A không khả đảo khi và chỉ khi m = 2 hoặc m = -1.
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
