Tính modun của số phức: \(z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}\)

\(\frac{5}{2}\)

Các câu kia sai

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Ta có \(i^{2009} = i^{2008}.i = (i^4)^{502}.i = 1^{502}.i = i\) \(z = \frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i - 4i^2}{-i^2} = \frac{-3i + 4}{1} = 4 - 3i\) \(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 12:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Biết \({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&0\\ 0&b \end{array}} \right]^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^n}}&0\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right](n \in {N^ + })\). Tính A³?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đầu tiên, ta tính ma trận A:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\)

Tính A²:
\({A^2} = A.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\)

Tính A³:
\({A^3} = {A^2}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&{19}\\ 0&{27} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^3}}&{19}\\ 0&{{3^3}} \end{array}} \right]\)

Đáp án không có kết quả trùng khớp.

Câu 13:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 2x3, ma trận B có kích thước 3x3. Vì số cột của A bằng số hàng của B nên tích AB xác định và có kích thước 2x3. Ta có:

AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3\\
2&0&4
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&0\\
2&0&0\\
3&4&0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*1 + 2*0 + 3*4 & 1*0 + 2*0 + 3*0 \\
2*1 + 0*2 + 4*3 & 2*1 + 0*0 + 4*4 & 2*0 + 0*0 + 4*0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 + 4 + 9 & 1 + 0 + 12 & 0 + 0 + 0 \\
2 + 0 + 12 & 2 + 0 + 16 & 0 + 0 + 0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
14 & 13 & 0 \\
14 & 18 & 0
\end{array}} \right]\)

Vậy đáp án đúng là AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}&{13}&0\\
{14}&{18}&0
\end{array}} \right]\).

Câu 14:

Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Câu 15:

Cho \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) là một nghiệm của \(\sqrt[n]{1}\). Ma trận vuông \({F_n} = ({f_{k,j}})\) cấp n, với \({f_{k,j}} = {z^{(k - 1).(j - 1)}}\) được gọi là ma trận Fourier. Phép nhân F_n . X được gọi là phép biến đổi Fourier. Tìm biến đổi Fourier của vecto X = (1,0,1,1)^T.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Câu hỏi yêu cầu tìm biến đổi Fourier của vector X = (1,0,1,1)^T. Ta có \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{n}} \right)\) và \(n=4\). Vậy \(z = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) - i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) - i\sin \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = -i\). Ma trận Fourier \(F_4\) có dạng:

\(F_4 = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & z & z^2 & z^3 \\
1 & z^2 & z^4 & z^6 \\
1 & z^3 & z^6 & z^9
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -i & -1 & i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & i & -1 & -i
\end{bmatrix}\)

Khi đó, \(F_4 . X = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -i & -1 & i \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & i & -1 & -i
\end{bmatrix} . \begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1+0+1+1 \\
1+0-1+i \\
1+0+1-1 \\
1+0-1-i
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
3 \\
i \\
1 \\
-i
\end{bmatrix}\)

Vậy biến đổi Fourier của vector X là (3, i, 1, -i)^T.

Câu 16:

Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(r({A^n}) = 0\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có ma trận A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\).
Nhận thấy rằng hàng 1 và hàng 3 của ma trận A giống nhau. Điều này có nghĩa là det(A) = 0, và A là một ma trận suy biến.
Tính \(A^2\) = A.A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ 4-3-2}&{-2+2+1}&{-2+2+1}\\
{ 6-3-4}&{-3+2+2}&{-3+2+2}\\
{ 4-3-2}&{-2+2+1}&{-2+2+1}
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&1&1\\
{-1}&1&1\\
{-1}&1&1
\end{array}} \right]\)
Tính \(A^3 = A^2 . A\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&1&1\\
{-1}&1&1\\
{-1}&1&1
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1}\\
{2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1}\\
{2-3-2}&{-1+1+1}&{-1+2+1}
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{-3}&1&2\\
{-3}&1&2\\
{-3}&1&2
\end{array}} \right]\)
Nhận thấy rằng \(rank(A^3) = 1\).
Tính \(A^4\) = \(A^3. A\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{-3}&1&2\\
{-3}&1&2\\
{-3}&1&2
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\
{6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\
{6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1
\end{array}} \right]\)
Tuy nhiên, không có số tự nhiên n nào để r(A^n) = 0, vì vậy các câu trên đều sai. Vì câu trả lời đúng nhất là "Các câu kia sai".

Câu 17:

Cho ma trận \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right)\). Ma trận A gọi là ma trận lũy linh nếu A^k = 0. Số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa A^k = 0 được gọi là chỉ số của ma trận lũy linh. Tìm chỉ số của ma trận A.

Lời giải: