Cho ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&1&1\\ { - 3}&1&2\\ { - 2}&1&1 \end{array}} \right]\). Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(r({A^n}) = 0\)

Ta có:
\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right)\)
Tính \(A^2\):
\(A^2 = A.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1}\\
{6-3-4}&{-3+1+2}&{-3+2+2}\\
{4-3-2}&{-2+1+1}&{-2+2+1}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1
\end{array}} \right)\)
Tính \(A^3\):
\(A^3 = A^2.A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1\\
{-1}&0&1
\end{array}} \right).\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 2}&1&1\\
{ - 3}&1&2\\
{ - 2}&1&1
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\
{2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}\\
{2+0-2}&{-1+0+1}&{-1+0+1}
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&0&0\\
{0}&0&0\\
{0}&0&0
\end{array}} \right) = 0\)
Vậy, chỉ số của ma trận A là k = 3.

Gọi E là ma trận đơn vị cấp 4.

- Bước 1: Cộng vào cột thứ 3 cột 2 đã được nhân với 2, ta được ma trận \(E_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

- Bước 2: Đổi chỗ cột 1 và cột 2, ta được ma trận \(E_2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Vậy ma trận cần tìm là: \(E_2E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\). Ma trận này không xuất hiện trong các đáp án.
Vậy đáp án đúng là: 3 câu kia đều sai.

Để ma trận A khả nghịch, định thức của A phải khác 0. Đồng thời, r(A^{-1}) = 3 tương đương với r(A) = 3. Điều này có nghĩa là hạng của ma trận A là 3, tức là định thức của mọi ma trận con vuông cấp 4 của A phải bằng 0, nhưng phải tồn tại ít nhất một ma trận con vuông cấp 3 có định thức khác 0. Vì A là ma trận vuông cấp 4, điều kiện r(A) = 3 tương đương với det(A) = 0.

Tính định thức của A:

Để đơn giản, ta thực hiện phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang (hoặc gần bậc thang).

Sử dụng các phép biến đổi dòng để tính định thức. Ta có thể tính định thức bằng cách khai triển theo dòng hoặc cột. Tuy nhiên, để r(A) = 3 thì det(A) = 0. Do đó, ta cần tìm m sao cho det(A) = 0.

Ta tính định thức của A bằng cách khai triển theo cột 1:

|A| = 2 * det([[2, 0, 1], [3, -1, 2], [6, 3, m]]) - 3 * det([[1, 3, -1], [3, -1, 2], [6, 3, m]]) + 1 * det([[1, 3, -1], [2, 0, 1], [6, 3, m]]) - 4 * det([[1, 3, -1], [2, 0, 1], [3, -1, 2]])

Sau khi tính toán các định thức con cấp 3, ta thu được một phương trình theo m. Giải phương trình này, ta sẽ tìm được giá trị của m sao cho det(A) = 0.

Thực hiện tính toán:
det([[2, 0, 1], [3, -1, 2], [6, 3, m]]) = 2*(-m - 6) + 1*(9 + 6) = -2m - 12 + 15 = -2m + 3
det([[1, 3, -1], [3, -1, 2], [6, 3, m]]) = 1*(-m - 6) - 3*(3m - 12) -1*(9 + 6) = -m - 6 - 9m + 36 - 15 = -10m + 15
det([[1, 3, -1], [2, 0, 1], [6, 3, m]]) = 1*(-3) - 3*(2m - 6) -1*(6) = -3 - 6m + 18 - 6 = -6m + 9
det([[1, 3, -1], [2, 0, 1], [3, -1, 2]]) = 1*(0 + 1) - 3*(4 - 3) -1*(-2 - 0) = 1 - 3 + 2 = 0

|A| = 2*(-2m + 3) - 3*(-10m + 15) + 1*(-6m + 9) - 4*0 = -4m + 6 + 30m - 45 - 6m + 9 = 20m - 30

Để |A| = 0, ta có 20m - 30 = 0 => 20m = 30 => m = 30/20 = 3/2.

Tuy nhiên, không có đáp án nào là m = 3/2. Điều này có nghĩa là cần xem xét lại quá trình tính toán hoặc có thể không có giá trị m nào thỏa mãn.

Kiểm tra lại các đáp án đã cho bằng cách thay vào định thức và kiểm tra hạng. Nếu không có đáp án nào làm cho định thức bằng 0, thì đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Thử m = 2: det(A) = 20*2 - 30 = 10 != 0, A khả nghịch, r(A) = 4
Thử m = 1: det(A) = 20*1 - 30 = -10 != 0, A khả nghịch, r(A) = 4
Thử m = -2: det(A) = 20*(-2) - 30 = -70 != 0, A khả nghịch, r(A) = 4

Vậy đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Để giải bài toán này, ta cần tính định thức của ma trận A và giải phương trình det(A) = 6 để tìm giá trị của m.

Tính định thức của ma trận A:

\(\begin{aligned}
det(A) &= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&1&{ - 1}\\
3&4&1&1\\
5&2&1&2\\
7&m&1&3
\end{array}} \right|\\
&= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3&1&{ - 1}\\
1&1&0&2\\
3&{ - 1}&0&3\\
5&{m - 3}&0&4
\end{array}} \right| (R_2 \leftarrow R_2 - R_1, R_3 \leftarrow R_3 - R_1, R_4 \leftarrow R_4 - R_1)\\
&= - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&2\\
3&{ - 1}&3\\
5&{m - 3}&4
\end{array}} \right|\\ &= - \left[ {1\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - 1&3\\m - 3&4 \end{array}} \right| - 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&3\\5&4 \end{array}} \right| + 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&{ - 1}\\5&{m - 3} \end{array}} \right|} \right]\\&= - [1(-4 - 3(m-3)) - 1(12-15) + 2(3(m-3) - (-1)(5))] \\&= - [-4 - 3m + 9 + 3 + 2(3m - 9 + 5)] \\&= - [-4 - 3m + 9 + 3 + 6m - 8] \\&= - [3m] \\&= -3m
\end{aligned}\)


Theo đề bài, det(A) = 6, vậy:
-3m = 6
m = -2

Vì không có đáp án nào trùng với m = -2, nên đáp án đúng là "Các câu kia đều sai".