Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0&0\\ 2&1&0\\ 4&3&1 \end{array}} \right]\). Tính det(A²⁰¹¹)

undefined.

Ba câu kia đều sai

2011

-1

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Ma trận A là ma trận tam giác dưới, do đó định thức của A bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.

det(A) = (-1) * 1 * 1 = -1.

Ta có công thức det(Aⁿ) = (det(A))ⁿ.

Vậy det(A²⁰¹¹) = (det(A))²⁰¹¹ = (-1)²⁰¹¹ = -1.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 26:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 2&3&5 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4&1\\ { - 2}&1&0\\ 1&0&0 \end{array}} \right]\). Tính det( A⁻¹. B2ⁿ⁺¹).

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính định thức của ma trận A và B, sau đó áp dụng các quy tắc về định thức của ma trận nghịch đảo và tích của ma trận.

1. Tính det(A):
\(\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \end{vmatrix} = 1(2*5 - 1*3) - 1(1*5 - 1*2) + 1(1*3 - 2*2) = 1(10 - 3) - 1(5 - 2) + 1(3 - 4) = 7 - 3 - 1 = 3\)

2. Tính det(B):
\(\det(B) = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 1(4*0 - 1*0) - 0 + 0 = 1\), ta khai triển theo cột 3, do 2 phần tử bằng 0.
Hoặc tính bằng khai triển theo hàng 3: \(\det(B) = 1*(4*0 - 1*1) = 1*(0 - 1) = -1\) => sai. Tính lại:
\(\det(B) = 1 * (1*0 - 0*0) - 0 + 0 = 0\).
Tính theo hàng 1: \(3*(1*0 - 0*0) - 4*(-2*0 - 1*0) + 1*(-2*0 - 1*1) = -1\).

Vậy det(B) = -1.

3. Tính det(A^-1):
\(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3}\)

4. Tính det(B²ⁿ⁺¹):
\(\det(B^{2n+1}) = (\det(B))^{2n+1} = (-1)^{2n+1} = -1\)

5. Tính det(A^-1 * B²ⁿ⁺¹):
\(\det(A^{-1} B^{2n+1}) = \det(A^{-1}) * \det(B^{2n+1}) = \frac{1}{3} * (-1) = -\frac{1}{3}\)

Vậy đáp án là \(-\frac{1}{3}\).

Câu 27:

Cho ma trận \(A ∈ M_{4,5}( R), X ∈ M_{5,1}(R)\). Khẳng định nào đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 4x5, nghĩa là có 4 hàng và 5 cột. Ma trận X có kích thước 5x1. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX = 0, với X là một vector cột 5x1. Vì số ẩn (5) lớn hơn số phương trình (4), nên hệ AX = 0 luôn có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác không). Điều này xuất phát từ việc hạng của ma trận A tối đa là 4 (do chỉ có 4 hàng), và do đó, sẽ có ít nhất một biến tự do, dẫn đến vô số nghiệm, bao gồm cả nghiệm khác không. Do đó, khẳng định "Hệ AX = 0 có nghiệm khác không" là đúng.

Câu 28:

Giải hệ phương trình (tìm tất cả nghiệm) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 2\\ 3x + 7y - 2z = 5\\ 2x + 5y + z = 3\\ x + 3y + 3z = 1 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp thế. Ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 { (1)}\\
3x + 7y - 2z = 5 { (2)}\\
2x + 5y + z = 3 { (3)}\\
x + 3y + 3z = 1 { (4)}
\end{array} \right.\)

Lấy (2) - 3*(1), (3) - 2*(1), (4) - (1), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
y + 5z = -1 \\
y + 5z = -1
\end{array} \right.\)

Lấy (3) - (2) và (4) - (2), ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
z = 0 \\
z = 0
\end{array} \right.\)

Thay z = 0 vào phương trình (2), ta có y + 4*0 = -1 => y = -1

Thay y = -1 và z = 0 vào phương trình (1), ta có x + 2*(-1) - 2*0 = 2 => x - 2 = 2 => x = 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4, -1, 0).

Kiểm tra lại với các phương trình ban đầu:

(1): 4 + 2*(-1) - 2*0 = 4 - 2 = 2 (đúng)
(2): 3*4 + 7*(-1) - 2*0 = 12 - 7 = 5 (đúng)
(3): 2*4 + 5*(-1) + 0 = 8 - 5 = 3 (đúng)
(4): 4 + 3*(-1) + 3*0 = 4 - 3 = 1 (đúng)

Vì không có đáp án nào trùng với nghiệm (4, -1, 0) nên đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".

Câu 29:

Tìm tất cả m để tất cả hai hệ không tương đương.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1z = 1{\rm{ }}\\ 3x + y + 5z = 6{\rm{ }}\\ 4x + 5y + mz = 1{\rm{ }}0 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 5z = 3 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để hai hệ phương trình không tương đương, chúng phải có tập nghiệm khác nhau. Ta xét từng hệ:
Hệ 1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y + z = 1{\rm{ }}\\
3x + y + 5z = 6{\rm{ }}\\
4x + 5y + mz = 1
\end{array} \right.\)
Hệ 2: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\
3x + 4y + 5z = 3
\end{array} \right.\)

Ta biến đổi hệ 2:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\
2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\
3x + 4y + 5z = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\
y = -1{\rm{ }}\\
z = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = -1{\rm{ }}\\
y = -1{\rm{ }}\\
z = 1
\end{array} \right.\)
Vậy hệ 2 có nghiệm duy nhất \((x, y, z) = (-1, -1, 1)\).

Để hai hệ không tương đương, \((-1, -1, 1)\) không phải là nghiệm của hệ 1.
Thay \((x, y, z) = (-1, -1, 1)\) vào hệ 1:
\(\left\{ \begin{array}{l}
-1 + 2(-1) + 1 = 1{\rm{ (Sai)}}\\
3(-1) + (-1) + 5 = 6{\rm{ (Sai)}}\\
4(-1) + 5(-1) + m = 1
\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất: \(-2 = 1\) (vô lý).
Từ phương trình thứ hai: \(1 = 6\) (vô lý).
Từ phương trình thứ ba: \(-9 + m = 1 \Rightarrow m = 10\).

Để hệ 2 không phải là nghiệm của hệ 1, thì ít nhất 1 trong 3 phương trình không thỏa mãn khi thay \((x, y, z) = (-1, -1, 1)\) vào.
Vì 2 pt đầu đã sai, nên với mọi m, hệ 2 sẽ không phải là nghiệm của hệ 1.

Xét hệ 1. Nếu \(m = 10\), hệ 1 có nghiệm duy nhất \((-1, -1, 1)\), tức là tương đương với hệ 2. Vậy để hai hệ không tương đương, \(m \ne 10\). Tuy nhiên với mọi \(m\) thì hệ 1 và 2 không tương đương.
Vậy không tồn tại m để hai hệ phương trình tương đương.
Vậy đáp án đúng là \(\not \exists m\)

Câu 30:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}m^2{\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}7 \end{array} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Ta có định thức của ma trận hệ số là:
D = 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) = 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 = m^2 - 4
Hệ vô nghiệm khi D = 0 và một trong các định thức con khác 0.
D = 0 <=> m^2 = 4 <=> m = ±2.
Xét m = 2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = 2 hệ vô nghiệm.
Xét m = -2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = -2 hệ vô nghiệm.
Vậy m = ±2 thì hệ vô nghiệm.

Câu 31:

Tìm tất cả m để hệ phương trình sau vô nghiệm

\(\left\{ \begin{array}{l} x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\ 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\ 3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2}z{\rm{ }} = {\rm{ }}6 \end{array} \right.\)

Lời giải: