Tìm tất cả m để tất cả hai hệ không tương đương.

\(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1z = 1{\rm{ }}\\ 3x + y + 5z = 6{\rm{ }}\\ 4x + 5y + mz = 1{\rm{ }}0 \end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l} x + y + 2z = 1{\rm{ }}\\ 2x + 3y + 4z = 1{\rm{ }}\\ 3x + 4y + 5z = 3 \end{array} \right.\)

Để hệ phương trình vô nghiệm, ta cần tìm giá trị của m sao cho định thức của ma trận hệ số bằng 0 và định thức của ma trận mở rộng khác 0.

Hệ phương trình đã cho là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2}z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)

Ma trận hệ số của hệ phương trình là:

\(A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 5 & 3 \\
3 & 7 & m^2
\end{bmatrix}\)

Tính định thức của A:

\(\det(A) = 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) = 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 = m^2 - 4\)

Để hệ vô nghiệm, \(\det(A) = 0\), suy ra \(m^2 - 4 = 0 \Rightarrow m = \pm 2\).

Với m = 2, hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)

Từ phương trình 1 và 2, ta có: \(2x + 4y + 2z = 2\). Lấy phương trình 2 trừ đi, ta được: \(y + z = 3\) hay \(z = 3-y\)

Thay vào phương trình 1, ta được: \(x + 2y + 3 - y = 1 \Rightarrow x + y = -2\) hay \(x = -2-y\)

Thay vào phương trình 3, ta được: \(3(-2-y) + 7y + 4(3-y) = 6 \Rightarrow -6 - 3y + 7y + 12 - 4y = 6 \Rightarrow 0y = 0\). Vậy hệ có vô số nghiệm.

Với m = -2, hệ trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)

Hệ này tương tự như trường hợp m = 2 và cũng có vô số nghiệm.

Vậy không tồn tại m để hệ vô nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất bằng 0 khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình:

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&1\\
2&1&3\\
3&4&m
\end{array}} \right)\)

Tính định thức của ma trận A:

\(\begin{array}{l}
det(A) = 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&3\\
4&m
\end{array}} \right| - 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
3&m
\end{array}} \right| + 1\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
3&4
\end{array}} \right|\\ = (m - 12) - 2(2m - 9) + (8 - 3)\\ = m - 12 - 4m + 18 + 5\\ = - 3m + 11
\end{array}\)

Để hệ có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) thì det(A) ≠ 0.

\( - 3m + 11 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{{11}}{3}\)