Giải hệ phương trình (tìm tất cả nghiệm) \(\left\{ \begin{array}{l} x + 2y - 2z = 2\\ 3x + 7y - 2z = 5\\ 2x + 5y + z = 3\\ x + 3y + 3z = 1 \end{array} \right.\)
Trả lời:
Đáp án đúng: C
Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp khử Gauss hoặc phương pháp thế. Ta sẽ sử dụng phương pháp khử Gauss:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 { (1)}\\
3x + 7y - 2z = 5 { (2)}\\
2x + 5y + z = 3 { (3)}\\
x + 3y + 3z = 1 { (4)}
\end{array} \right.\)
Lấy (2) - 3*(1), (3) - 2*(1), (4) - (1), ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
y + 5z = -1 \\
y + 5z = -1
\end{array} \right.\)
Lấy (3) - (2) và (4) - (2), ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y - 2z = 2 \\
y + 4z = -1 \\
z = 0 \\
z = 0
\end{array} \right.\)
Thay z = 0 vào phương trình (2), ta có y + 4*0 = -1 => y = -1
Thay y = -1 và z = 0 vào phương trình (1), ta có x + 2*(-1) - 2*0 = 2 => x - 2 = 2 => x = 4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4, -1, 0).
Kiểm tra lại với các phương trình ban đầu:
(1): 4 + 2*(-1) - 2*0 = 4 - 2 = 2 (đúng)
(2): 3*4 + 7*(-1) - 2*0 = 12 - 7 = 5 (đúng)
(3): 2*4 + 5*(-1) + 0 = 8 - 5 = 3 (đúng)
(4): 4 + 3*(-1) + 3*0 = 4 - 3 = 1 (đúng)
Vì không có đáp án nào trùng với nghiệm (4, -1, 0) nên đáp án đúng là "3 câu kia đều sai".
Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!
50 câu hỏi 60 phút
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Hệ thứ nhất có định thức:
Hệ thứ hai có định thức:
Để hai hệ không tương đương thì hệ thứ nhất vô nghiệm hoặc có nghiệm khác với nghiệm của hệ thứ hai.
Nghiệm của hệ thứ hai là \(x=-4, y=-1, z=3\)
Hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(D = 0\) và \(D_x\) hoặc \(D_y\) hoặc \(D_z\) khác 0.
\(D = 0 \Leftrightarrow -5m+26 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{26}{5}\)
Khi \(m = \frac{26}{5}\) thì \(D_z = 24 \ne 0\). Vậy hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(m = \frac{26}{5}\)
Xét \(m \ne \frac{26}{5}\), khi đó hệ thứ nhất có nghiệm duy nhất.
\(x = \frac{-11m-1}{-5m+26} = -4 \Leftrightarrow -11m-1 = 20m - 104 \Leftrightarrow 31m = 103 \Leftrightarrow m = \frac{103}{31}\)
\(y = \frac{3m-6}{-5m+26} = -1 \Leftrightarrow 3m-6 = 5m - 26 \Leftrightarrow 2m = 20 \Leftrightarrow m = 10\)
\(z = \frac{24}{-5m+26} = 3 \Leftrightarrow -5m+26 = 8 \Leftrightarrow 5m = 18 \Leftrightarrow m = \frac{18}{5}\)
Vậy không tồn tại m để hai hệ không tương đương.
Hệ thứ hai có định thức:
Để hai hệ không tương đương thì hệ thứ nhất vô nghiệm hoặc có nghiệm khác với nghiệm của hệ thứ hai.
Nghiệm của hệ thứ hai là \(x=-4, y=-1, z=3\)
Hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(D = 0\) và \(D_x\) hoặc \(D_y\) hoặc \(D_z\) khác 0.
\(D = 0 \Leftrightarrow -5m+26 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{26}{5}\)
Khi \(m = \frac{26}{5}\) thì \(D_z = 24 \ne 0\). Vậy hệ thứ nhất vô nghiệm khi \(m = \frac{26}{5}\)
Xét \(m \ne \frac{26}{5}\), khi đó hệ thứ nhất có nghiệm duy nhất.
\(x = \frac{-11m-1}{-5m+26} = -4 \Leftrightarrow -11m-1 = 20m - 104 \Leftrightarrow 31m = 103 \Leftrightarrow m = \frac{103}{31}\)
\(y = \frac{3m-6}{-5m+26} = -1 \Leftrightarrow 3m-6 = 5m - 26 \Leftrightarrow 2m = 20 \Leftrightarrow m = 10\)
\(z = \frac{24}{-5m+26} = 3 \Leftrightarrow -5m+26 = 8 \Leftrightarrow 5m = 18 \Leftrightarrow m = \frac{18}{5}\)
Vậy không tồn tại m để hai hệ không tương đương.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Ta có định thức của ma trận hệ số là:
D = 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) = 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 = m^2 - 4
Hệ vô nghiệm khi D = 0 và một trong các định thức con khác 0.
D = 0 <=> m^2 = 4 <=> m = ±2.
Xét m = 2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = 2 hệ vô nghiệm.
Xét m = -2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = -2 hệ vô nghiệm.
Vậy m = ±2 thì hệ vô nghiệm.
D = 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) = 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 = m^2 - 4
Hệ vô nghiệm khi D = 0 và một trong các định thức con khác 0.
D = 0 <=> m^2 = 4 <=> m = ±2.
Xét m = 2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = 2 hệ vô nghiệm.
Xét m = -2, ta có hệ phương trình:
x + 2y + z = 1
2x + 5y + 3z = 5
3x + 7y + 4z = 7
Khi đó D_z = |1 2 1; 2 5 5; 3 7 7| = 1(35 - 35) - 2(14 - 15) + 1(14 - 15) = 0 - 2(-1) + 1(-1) = 2 - 1 = 1 ≠ 0
Vậy m = -2 hệ vô nghiệm.
Vậy m = ±2 thì hệ vô nghiệm.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Để hệ phương trình vô nghiệm, ta xét định thức của ma trận hệ số và định thức của ma trận mở rộng.
Ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & m^2 \end{bmatrix}\)
Định thức của ma trận A là:
\(\begin{aligned}
det(A) &= 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) \\
&= 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 \\
&= m^2 - 4
\end{aligned}\)
Để hệ vô nghiệm, \(det(A) = 0\), suy ra \(m^2 = 4\), vậy \(m = \pm 2\).
Khi \(m = 2\), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)
Khi \(m = -2\), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)
Xét định thức của ma trận bổ sung, ta thấy rằng hệ vô nghiệm khi \(m = \pm 2\).
Ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 3 & 7 & m^2 \end{bmatrix}\)
Định thức của ma trận A là:
\(\begin{aligned}
det(A) &= 1(5m^2 - 21) - 2(2m^2 - 9) + 1(14 - 15) \\
&= 5m^2 - 21 - 4m^2 + 18 - 1 \\
&= m^2 - 4
\end{aligned}\)
Để hệ vô nghiệm, \(det(A) = 0\), suy ra \(m^2 = 4\), vậy \(m = \pm 2\).
Khi \(m = 2\), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)
Khi \(m = -2\), hệ phương trình trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}\\
2x{\rm{ }} + {\rm{ }}5y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} = {\rm{ }}5{\rm{ }}\\
3x{\rm{ }} + {\rm{ }}7y{\rm{ }} + {\rm{ }}4z{\rm{ }} = {\rm{ }}6
\end{array} \right.\)
Xét định thức của ma trận bổ sung, ta thấy rằng hệ vô nghiệm khi \(m = \pm 2\).
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm duy nhất bằng 0 khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.
Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 4 & m
\end{pmatrix}\)
Định thức của ma trận này là:
\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 4 & m
\end{vmatrix} = 1(m-12) - 2(2m-9) + 1(8-3) = m - 12 - 4m + 18 + 5 = -3m + 11\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) khi định thức khác 0:
\(-3m + 11 \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{11}{3}\)
Ta có ma trận hệ số của hệ phương trình là:
\(\begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 4 & m
\end{pmatrix}\)
Định thức của ma trận này là:
\(\begin{vmatrix}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
3 & 4 & m
\end{vmatrix} = 1(m-12) - 2(2m-9) + 1(8-3) = m - 12 - 4m + 18 + 5 = -3m + 11\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (0, 0, 0) khi định thức khác 0:
\(-3m + 11 \ne 0 \Rightarrow m \ne \frac{11}{3}\)
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Đầu tiên, ta tính định thức của A: det(A) = 1*(1*2 - 0*(-1)) - 0 + 0 = 2.
Tiếp theo, ta tính det(3A). Vì A là ma trận vuông cấp 3, nên det(3A) = 3^3 * det(A) = 27 * 2 = 54.
Ta có det((3A)^(-1)) = 1/det(3A) = 1/54.
Cuối cùng, det((3A)^(-1))^T = det((3A)^(-1)) = 1/54.
Tiếp theo, ta tính det(3A). Vì A là ma trận vuông cấp 3, nên det(3A) = 3^3 * det(A) = 27 * 2 = 54.
Ta có det((3A)^(-1)) = 1/det(3A) = 1/54.
Cuối cùng, det((3A)^(-1))^T = det((3A)^(-1)) = 1/54.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
