Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để \({( - 1 + i\sqrt 3 )^n}\)

n = 1

Không tồn tại n

n = 3

n = 6

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Ta có \[ - 1 + i\sqrt 3 = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) \] Vậy \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} = {2^n}(\cos{\frac{2n\pi}{3}} + i\sin{\frac{2n\pi}{3}})\] Để \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} \in \mathbb{R}\] thì \[\sin{\frac{2n\pi}{3}} = 0 \Rightarrow \frac{2n}{3} = k \Rightarrow n = \frac{3k}{2}\] với k là số nguyên. Do n nguyên dương nhỏ nhất nên k=2 suy ra n=3. Khi đó \[{( - 1 + i\sqrt 3 )^3} = {2^3}(\cos{2\pi} + i\sin{2\pi}) = 8 \in \mathbb{R}\]

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức \({e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi );\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Số phức \(z = {e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) có môđun là \(|z| = {e^4}\), vậy tập hợp các điểm biểu diễn \(z\) là đường tròn tâm O, bán kính \({e^4}\). Vì \(\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\varphi \) chỉ quét nửa đường tròn.

Câu 10:

Nghiệm của phương trình \(z^3 =1\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Phương trình z^3 = 1 có thể viết lại thành z^3 - 1 = 0. Phân tích thành nhân tử, ta có (z - 1)(z^2 + z + 1) = 0. Vậy, z = 1 là một nghiệm. Giải phương trình bậc hai z^2 + z + 1 = 0, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: z = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, với a = 1, b = 1, và c = 1. Tính delta: Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4 = -3. Vậy, z = (-1 ± √(-3)) / 2 = (-1 ± i√3) / 2 = -1/2 ± (√3 / 2)i. Vậy, nghiệm của phương trình là z = 1, z = -1/2 + (√3 / 2)i, và z = -1/2 - (√3 / 2)i.

Câu 11:

Tính modun của số phức: \(z = \frac{{3 + 4i}}{{{i^{2009}}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có \(i^{2009} = i^{2008}.i = (i^4)^{502}.i = 1^{502}.i = i\)
\(z = \frac{3 + 4i}{i} = \frac{(3 + 4i)(-i)}{i(-i)} = \frac{-3i - 4i^2}{-i^2} = \frac{-3i + 4}{1} = 4 - 3i\)
\(|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

Câu 12:

Cho \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right]\). Biết \({\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&0\\ 0&b \end{array}} \right]^n} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^n}}&0\\ 0&{{b^n}} \end{array}} \right](n \in {N^ + })\). Tính A³?

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Đầu tiên, ta tính ma trận A:
\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&0\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 0&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\)

Tính A²:
\({A^2} = A.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\)

Tính A³:
\({A^3} = {A^2}.A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&5\\ 0&9 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 0&3 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8&{19}\\ 0&{27} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{2^3}}&{19}\\ 0&{{3^3}} \end{array}} \right]\)

Đáp án không có kết quả trùng khớp.

Câu 13:

Cho hai ma trận \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 2&0&4 \end{array}} \right]\) và \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&0\\ 2&0&0\\ 3&4&0 \end{array}} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ma trận A có kích thước 2x3, ma trận B có kích thước 3x3. Vì số cột của A bằng số hàng của B nên tích AB xác định và có kích thước 2x3. Ta có:

AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2&3\\
2&0&4
\end{array}} \right]\) \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&0\\
2&0&0\\
3&4&0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1*1 + 2*2 + 3*3 & 1*1 + 2*0 + 3*4 & 1*0 + 2*0 + 3*0 \\
2*1 + 0*2 + 4*3 & 2*1 + 0*0 + 4*4 & 2*0 + 0*0 + 4*0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1 + 4 + 9 & 1 + 0 + 12 & 0 + 0 + 0 \\
2 + 0 + 12 & 2 + 0 + 16 & 0 + 0 + 0
\end{array}} \right]\) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
14 & 13 & 0 \\
14 & 18 & 0
\end{array}} \right]\)

Vậy đáp án đúng là AB = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{14}&{13}&0\\
{14}&{18}&0
\end{array}} \right]\).

Câu 14:

Tính hạng của ma trận:

\(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&2&{ - 1}&2\\ 2&3&5&3&5\\ 4&7&7&7&5\\ 3&3&6&{ - 2}&8\\ 6&8&{15}&{ - 4}&{ - 8} \end{array}} \right]\)

Lời giải: