Cho A là ma trận vuông cấp n với \(n \ge 2\)

|3A| = 3 |A|

|-A| = |A|

Nếu |A| = 0 thì có 1 vectơ cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại.

Các câu kia đều sai

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Xét các phương án: 1. **Phương án 1: |3A| = 3|A|** * Đây là phương án sai. Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì |kA| = k^n |A|. Trong trường hợp này, |3A| = 3^n |A|. 2. **Phương án 2: |-A| = |A|** * Phương án này chỉ đúng khi n chẵn. Nếu n lẻ thì |-A| = (-1)^n |A| = -|A|. Vì đề bài không nói rõ n chẵn hay lẻ, nên phương án này không đúng trong mọi trường hợp. 3. **Phương án 3: Nếu |A| = 0 thì có 1 vectơ cột của A là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại.** * Đây là một khẳng định đúng. Nếu định thức của ma trận A bằng 0, điều đó có nghĩa là các cột của A phụ thuộc tuyến tính. Điều này tương đương với việc ít nhất một vectơ cột có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại. Vậy phương án 3 là đáp án đúng.

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 4:

Cho \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {m - 1}&1&1\\ 1&1&{m - 1}\\ 1&{m - 1}&1 \end{array}} \right)\). A không khả đảo khi và chỉ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để ma trận A không khả đảo, định thức của nó phải bằng 0. Ta tính định thức của A:

\(\begin{vmatrix}
m - 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & m - 1 \\
1 & m - 1 & 1
\end{vmatrix} = (m-1)\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ m-1 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & m-1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & m-1 \end{vmatrix}\)

\(= (m-1)(1 - (m-1)^2) - (1 - (m-1)) + (m-1 - 1)\)

\(= (m-1)(1 - (m^2 - 2m + 1)) - (2-m) + (m-2)\)

\(= (m-1)(1 - m^2 + 2m - 1) - 2 + m + m - 2\)

\(= (m-1)(-m^2 + 2m) + 2m - 4\)

\(= -m^3 + 2m^2 + m^2 - 2m + 2m - 4\)

\(= -m^3 + 3m^2 - 4\)

Ta cần giải phương trình \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\). Ta có thể thấy m = 2 là một nghiệm, vì \(-8 + 12 - 4 = 0\). Chia đa thức \(-m^3 + 3m^2 - 4\) cho \(m - 2\), ta được:

\(-m^3 + 3m^2 - 4 = (m - 2)(-m^2 + m + 2)\)

Tiếp tục phân tích \(-m^2 + m + 2 = -(m^2 - m - 2) = -(m - 2)(m + 1)\).

Vậy, \(-m^3 + 3m^2 - 4 = -(m - 2)^2 (m + 1)\).

Để \(-m^3 + 3m^2 - 4 = 0\), ta có \((m - 2)^2 (m + 1) = 0\), suy ra \(m = 2\) hoặc \(m = -1\).

Vậy A không khả đảo khi và chỉ khi m = 2 hoặc m = -1.

Câu 5:

Giải phương trình \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = 0\) trong C, biết z = i là một nghiệm:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vì z = i là một nghiệm của phương trình nên z = -i cũng là một nghiệm. Do đó, \((z - i)(z + i) = {z^2} + 1\) là một nhân tử của đa thức \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2\). Ta thực hiện phép chia đa thức, ta được: \({z^4} + {z^3} + 3{z^2} + z + 2 = ({z^2} + 1)({z^2} + z + 2)\). Bây giờ, ta giải phương trình \({z^2} + z + 2 = 0\). Ta có \(\Delta = {1^2} - 4.2 = - 7\). Vậy \(\sqrt \Delta = \pm i\sqrt 7 \). Suy ra, nghiệm của phương trình là \({z_{3,4}} = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\). Vậy phương trình có 4 nghiệm là \(z = \pm i;z = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 7 }}{2}\).

Câu 6:

Tính \(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta có:
\(1 - i = \sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right)\)
\((1-i)^9 = (\sqrt{2})^9 \left( \cos{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{9\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \cos{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} + i \sin{\left(-\frac{\pi}{4} \right)} \right) = 16\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 16 - 16i\)
Vậy
\(z = \frac{{{{(1 - i)}^9}}}{{3 + i}} = \frac{16-16i}{3+i} = \frac{(16-16i)(3-i)}{(3+i)(3-i)} = \frac{48 - 16i - 48i - 16}{9+1} = \frac{32 - 64i}{10} = \frac{16}{5} - \frac{32}{5}i\)

Câu 7:

Tìm argument φ của số phức \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm argument \(\varphi\) của số phức \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}}\) ta thực hiện như sau:

1. Chuyển đổi số phức về dạng lượng giác:
- \(1 + i\sqrt 3 = 2(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))\)
- \(-1 + i = \sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))\)

2. Áp dụng công thức De Moivre:
- \({(1 + i\sqrt 3 )^{10}} = {2^{10}}(\cos(\frac{{10\pi}}{3}) + i\sin(\frac{{10\pi}}{3}))\) = \({2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))\)

3. Chia hai số phức:
- \(z = \frac{{{{(1 + i\sqrt 3 )}^{10}}}}{{ - 1 + i}} = \frac{{{2^{10}}(\cos(\frac{4\pi}{3}) + i\sin(\frac{4\pi}{3}))}}{{\sqrt{2}(\cos(\frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{3\pi}{4}))}} = \frac{{{2^{10}}}}{{\sqrt{2}}}(\cos(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}) + i\sin(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4}))\)
- \(\frac{4\pi}{3} - \frac{3\pi}{4} = \frac{{16\pi - 9\pi}}{{12}} = \frac{{7\pi}}{{12}}\)

Vậy, \(\varphi = \frac{{7\pi}}{{12}}\)

Câu 8:

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để \({( - 1 + i\sqrt 3 )^n}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có
\[ - 1 + i\sqrt 3 = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i\sin{\frac{2\pi}{3}}) \]
Vậy
\[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} = {2^n}(\cos{\frac{2n\pi}{3}} + i\sin{\frac{2n\pi}{3}})\]
Để
\[{( - 1 + i\sqrt 3 )^n} \in \mathbb{R}\]
thì
\[\sin{\frac{2n\pi}{3}} = 0 \Rightarrow \frac{2n}{3} = k \Rightarrow n = \frac{3k}{2}\]
với k là số nguyên. Do n nguyên dương nhỏ nhất nên k=2 suy ra n=3.
Khi đó
\[{( - 1 + i\sqrt 3 )^3} = {2^3}(\cos{2\pi} + i\sin{2\pi}) = 8 \in \mathbb{R}\]

Câu 9:

Tập hợp tất cả các số phức \({e^4}(\cos \varphi + i\sin \varphi );\frac{\pi }{2} \le \varphi \le \frac{{3\pi }}{2}\) trong mặt phẳng phức là:

Lời giải: