Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, −1). Tìm tọa độ của vecto x trong cơ sở \({u, u + v, u + v + w}.\)

\(( 1 , 3, 1 ) .\)

\(( 3, −1 , −1 ) .\)

\((−1 , 3, −1 ) .\)

\(( 3, 1 , 1 ) .\)

Trả lời:

Đáp án đúng: C

Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, -1) nghĩa là: x = 1*u + 2*v - 1*w. Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (a, b, c) nghĩa là: x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)*u + (b+c)*v + c*w. Đồng nhất hai biểu thức của x, ta có: a + b + c = 1 b + c = 2 c = -1 Giải hệ phương trình này, ta được: c = -1, b = 2 - c = 3, a = 1 - b - c = 1 - 3 - (-1) = -1. Vậy, tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (-1, 3, -1).

260+ câu trắc nghiệm Đại số tuyến tính có giải thích chi tiết từng câu - Phần 4

Bộ 265 câu trắc nghiệm ôn thi môn Đại số tuyến tính có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn tham khảo!

50 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 48:

Trong không gian R₃ cho cơ sở: \(B = {( 1 , 1 ,1 ) , ( 1 , 1 ,2 ) , ( 0,1 ,2 ) }\). Tìm tọa độ của vecto (3; 4; 5) trong cơ sở B.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi tọa độ của vector (3, 4, 5) trong cơ sở B là (x, y, z). Khi đó, ta có:
(3, 4, 5) = x(1, 1, 1) + y(1, 1, 2) + z(0, 1, 2)
Điều này tương đương với hệ phương trình:
x + y = 3
x + y + z = 4
x + 2y + 2z = 5
Từ phương trình thứ nhất và thứ hai, ta có z = 4 - 3 = 1.
Thay z = 1 vào phương trình thứ ba, ta có x + 2y + 2 = 5, suy ra x + 2y = 3.
Kết hợp với x + y = 3, ta có y = 0 và x = 3.
Vậy tọa độ của vector (3, 4, 5) trong cơ sở B là (3, 0, 1).

Câu 49:

Tìm vecto x biết tọa độ của x trong cơ sở \(E = {( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 ,2, 1 ) ; ( 1 , 1 ,2 ) }\) là [x]_E = (4, 2, 1)^T

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Vecto x có tọa độ [x]_E = (4, 2, 1)^T trong cơ sở E = {(1, 1, 1); (1, 2, 1); (1, 1, 2)} nghĩa là:

x = 4*(1, 1, 1) + 2*(1, 2, 1) + 1*(1, 1, 2)

x = (4, 4, 4) + (2, 4, 2) + (1, 1, 2)

x = (4+2+1, 4+4+1, 4+2+2)

x = (7, 9, 8)^T

Vậy đáp án đúng là x = (7, 9, 8)^T.

Câu 50:

Cho \(E = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right]} \right\}\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{14}\\ 6&{21} \end{array}} \right]\) trong cơ sở E.

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Gọi A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{14}\\
6&{21}
\end{array}} \right]\), \(E_1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right]\), \(E_2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right]\), \(E_3 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right]\). Ta cần tìm các hệ số x, y, z sao cho: A = x*E1 + y*E2 + z*E3
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{10}&{14}\\
6&{21}
\end{array}} \right] = x \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&1
\end{array}} \right] + y\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
1&0
\end{array}} \right] + z\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
2&3\\
1&4
\end{array}} \right]\)
Điều này tương đương với hệ phương trình:
x + y + 2z = 10
x + y + 3z = 14
x + z = 6
x + 4z = 21
Giải hệ này ta được: z = 5, x = 1, y = -1
Vậy tọa độ của A trong cơ sở E là (1, -1, 5).
Trong các đáp án không có đáp án nào đúng.

Câu 1:

Hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = - 6\\ 5x + 8y = 1\\ {a^2}x + 3ay = - 9 \end{array} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta giải hệ phương trình gồm hai phương trình đầu để tìm nghiệm:
\(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = - 6 \\ 5x + 8y = 1 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 32x + 24y = - 48 \\ 15x + 24y = 3 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 17x = - 51 \\ 4x + 3y = - 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ 4(-3) + 3y = - 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ 3y = 6 \end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 2 \end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, nghiệm này phải thỏa mãn phương trình thứ ba.
Thay x = -3 và y = 2 vào phương trình thứ ba, ta được:
\(a^2(-3) + 3a(2) = -9 \Leftrightarrow -3a^2 + 6a = -9 \Leftrightarrow -3a^2 + 6a + 9 = 0 \Leftrightarrow a^2 - 2a - 3 = 0 \Leftrightarrow (a + 1)(a - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = - 1 \\ a = 3 \end{array} \right.\)

Câu 2:

Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,2}&{0,1}\\ {0,3}&{0,4} \end{array}} \right]\). Gọi x₁, x₂ lần lượt là gía trị sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, d₁, d₂ lần lượt là yêu cầu cùa ngành mở đối với ngành 1; 2. Khi đó, nếu \(({x_1};{x_2}) = (200;300)\) thì:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Công thức tính sản lượng đầu ra trong mô hình Input-Output mở là: X = AX + D, trong đó X là vector sản lượng đầu ra, A là ma trận hệ số đầu vào, và D là vector cầu cuối. Từ đó suy ra D = X - AX = (I - A)X, với I là ma trận đơn vị. Trong bài toán này, ta có:

X = \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\), A = \(\begin{bmatrix} 0.2 & 0.1 \\ 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}\)

Vậy D = \(\begin{bmatrix} 1-0.2 & 0-0.1 \\ 0-0.3 & 1-0.4 \end{bmatrix}\) * \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0.8 & -0.1 \\ -0.3 & 0.6 \end{bmatrix}\) * \(\begin{bmatrix} 200 \\ 300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0.8*200 - 0.1*300 \\ -0.3*200 + 0.6*300 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 160 - 30 \\ -60 + 180 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 130 \\ 120 \end{bmatrix}\)

Do đó, (d1; d2) = (130; 120).

Câu 3:

Cho A là ma trận vuông cấp n với \(n \ge 2\)

Lời giải: