Cho không gian vecto V =, biết {x, y, z} độc lập tuyến tính. Khẳng định nào sau đâu luôn đúng?

Câu 43:

Cho \(V =< ( 1 , 1 , 0, 0 ) , ( 2, 1 , −1 , 3 ) , ( 1 ,2, 0, 1 ) , ( 4,5, −1 ,5 ) >\). Tìm m để \(( 3, −1 ,2, m) \in V\).

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Ta cần tìm m sao cho (3, -1, 2, m) là tổ hợp tuyến tính của các vector trong V. Tức là, tồn tại các số a, b, c, d sao cho:
(3, -1, 2, m) = a(1, 1, 0, 0) + b(2, 1, -1, 3) + c(1, 2, 0, 1) + d(4, 5, -1, 5)

Điều này tương đương với hệ phương trình:
1. a + 2b + c + 4d = 3
2. a + b + 2c + 5d = -1
3. -b - d = 2
4. 3b + c + 5d = m

Từ (3), ta có b = -d - 2. Thay vào (1) và (2):
1. a + 2(-d - 2) + c + 4d = 3 => a + 2d + c = 7
2. a + (-d - 2) + 2c + 5d = -1 => a + 4d + 2c = 1

Lấy (2) trừ (1), ta có:
2d + c = -6 => c = -2d - 6

Thay c vào (1):
a + 2d - 2d - 6 = 7 => a = 13

Thay b = -d - 2 và c = -2d - 6 vào (4):
3(-d - 2) + (-2d - 6) + 5d = m
-3d - 6 - 2d - 6 + 5d = m
-12 = m
Vậy, m = -12.

Câu 44:

Cho \(V =< ( 1 , 1 ,1 , 1 ) , ( 2, 1 , 3, 0 ) , ( 3,2, 1 ,1 ) , ( 4, 3, 1 , m) >\). Tìm m để dim(V) lớn nhất.

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tìm m để dim(V) lớn nhất, ta cần tìm m sao cho các vector trong V độc lập tuyến tính. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận tạo bởi các vector này phải khác 0.

Ta xét ma trận:

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 1 & m \end{bmatrix}\)

Để tìm định thức của ma trận này, ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hàng:

H2 = H2 - 2H1
H3 = H3 - 3H1
H4 = H4 - 4H1

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -3 & m-4 \end{bmatrix}\)

H3 = H3 - H2
H4 = H4 - H2

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & m-2 \end{bmatrix}\)

Để các vector độc lập tuyến tính, định thức của ma trận con 3x3 (từ hàng 2 trở xuống, bỏ cột 1) phải khác 0:

\(\begin{vmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & -4 & m-2 \end{vmatrix} = (-1)(-3)(m-2) = 3(m-2)\)

Để định thức khác 0, ta cần 3(m-2) \(\ne\) 0, suy ra m \(\ne\) 2.

Vậy, để dim(V) lớn nhất, m phải khác 2.

Câu 45:

Trong không gian vecto V cho E = {x, y, z} là cơ sở. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Vì E = {x, y, z} là cơ sở của không gian vector V, nên mọi vector trong V đều có thể biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Ta xét từng đáp án:

\n

- Đáp án 1: {x, y, 3z, x - y} sinh ra không gian 2 chiều là sai, vì nó sinh ra không gian V (3 chiều).

\n

- Đáp án 2: {2x, x + y, x − y, 3z} là tập sinh của V. Vì {x, y, z} là cơ sở của V, mọi vector trong V đều biểu diễn tuyến tính qua x, y, z. Ta có thể biểu diễn x, y, z qua {2x, x + y, x − y, 3z}. Thật vậy, từ x + y và x - y, ta có thể tìm ra x và y. Vì vậy, {2x, x + y, x − y, 3z} là tập sinh của V.

\n

- Đáp án 3: {x + y + z, 2x + 3y + z, y − z} sinh ra V là sai, vì 3 vector này độc lập tuyến tính nên chỉ sinh ra một không gian con của V.

\n

- Đáp án 4: Hạng của {x, y, x + 2y} bằng 3 là sai, vì hạng của nó chỉ bằng 2 (do nó có 2 vector độc lập tuyến tính).

Câu 46:

Trong R₃ cho họ vecto \(M = {( 1 ,1 , −1 ) , ( 2, 3,5 ) , ( 3, m, m + 4 ) }\). Với giá trị nào của m thì M không sinh ra R₃?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để M không sinh ra R3, định thức của ma trận tạo bởi các vector trong M phải bằng 0.
Ta có ma trận:

| 1 2 3 |
| 1 3 m |
| -1 5 m+4|

Tính định thức của ma trận này:

1 * (3(m+4) - 5m) - 2 * (1(m+4) - (-1)m) + 3 * (1*5 - (-1)*3)
= (3m + 12 - 5m) - 2(m + 4 + m) + 3(5+3)
= -2m + 12 - 2(2m + 4) + 3(8)
= -2m + 12 - 4m - 8 + 24
= -6m + 28

Để định thức bằng 0, ta giải phương trình:
-6m + 28 = 0
6m = 28
m = 28/6
m = 14/3

Vậy, với m = 14/3 thì M không sinh ra R3.

Câu 47:

Vecto x có tọa độ trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, −1). Tìm tọa độ của vecto x trong cơ sở \({u, u + v, u + v + w}.\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, v, w} là (1, 2, -1) nghĩa là: x = 1*u + 2*v - 1*w.
Gọi tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (a, b, c) nghĩa là: x = a*u + b*(u+v) + c*(u+v+w) = (a+b+c)*u + (b+c)*v + c*w.
Đồng nhất hai biểu thức của x, ta có:
a + b + c = 1
b + c = 2
c = -1
Giải hệ phương trình này, ta được: c = -1, b = 2 - c = 3, a = 1 - b - c = 1 - 3 - (-1) = -1.
Vậy, tọa độ của x trong cơ sở {u, u+v, u+v+w} là (-1, 3, -1).

Câu 48:

Trong không gian R₃ cho cơ sở: \(B = {( 1 , 1 ,1 ) , ( 1 , 1 ,2 ) , ( 0,1 ,2 ) }\). Tìm tọa độ của vecto (3; 4; 5) trong cơ sở B.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 49:

Tìm vecto x biết tọa độ của x trong cơ sở \(E = {( 1 , 1 , 1 ) ; ( 1 ,2, 1 ) ; ( 1 , 1 ,2 ) }\) là [x]_E = (4, 2, 1)^T

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 50:

Cho \(E = \left\{ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&1 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 1&0 \end{array}} \right],\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&4 \end{array}} \right]} \right\}\) là cơ sở của không gian vecto thực V. Tìm tọa độ của vecto \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&{14}\\ 6&{21} \end{array}} \right]\) trong cơ sở E.

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 1:

Hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y = - 6\\ 5x + 8y = 1\\ {a^2}x + 3ay = - 9 \end{array} \right.\) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:

Lời giải:

Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP

Câu 2:

Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,2}&{0,1}\\ {0,3}&{0,4} \end{array}} \right]\). Gọi x₁, x₂ lần lượt là gía trị sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, d₁, d₂ lần lượt là yêu cầu cùa ngành mở đối với ngành 1; 2. Khi đó, nếu \(({x_1};{x_2}) = (200;300)\) thì: