Cho chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^n {{3^n}}\). Chọn phát biểu đúng?

Xét chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\).
Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của chuỗi.
Đặt \(a_n = {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\).
Khi đó, \(\sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \sqrt[n]{{\left| {{{\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)}^n}} \right|}} = \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}\).
Tính giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}} = 0 < 1\).
Vậy, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

The radius of convergence, R, of the power series ∑ (x^n / (2^n + 4^n)) can be found using the ratio test or the root test. Using the root test: 1/R = lim (n→∞) |a_n|^(1/n) where a_n = 1 / (2^n + 4^n). So, 1/R = lim (n→∞) (1 / (2^n + 4^n))^(1/n) = lim (n→∞) 1 / (2^n + 4^n)^(1/n). Since 4^n < 2^n + 4^n < 2 * 4^n, we have (4^n)^(1/n) < (2^n + 4^n)^(1/n) < (2 * 4^n)^(1/n), which simplifies to 4 < (2^n + 4^n)^(1/n) < 4 * 2^(1/n). As n approaches infinity, 2^(1/n) approaches 1. Therefore, lim (n→∞) (2^n + 4^n)^(1/n) = 4. Thus, 1/R = 1/4, which implies R = 4. The radius of convergence is 4.

Công thức khai triển Maclaurin của cos(x) là: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
Trong đó, 2! = 2 * 1 = 2 và 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Do đó, khai triển Maclaurin của cos(x) đến x^4 là: cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^5). Ở đây o(x^5) biểu thị các số hạng bậc cao hơn của x (bắt đầu từ x^5).

Ta có:
\(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}}\)
Đặt \(x + 2 = \tan t \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\) khi đó:
\(I = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\sqrt {{\tan }^2t + 1} }}} = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{1}{{\cos t}}}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{\cos t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^2}t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)
\(= \int {\left( {\frac{1}{{1 - \sin t}} + \frac{1}{{1 + \sin t}}} \right)dt} = 2\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C\)
Hoặc có thể sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right| + C\)
Khi đó:
\(I = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}} = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} } \right| + C = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} } \right| + C\)

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{2^x} - {x^2}}}{{x - 2}}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\) khi \(x \to 2\).

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta lấy đạo hàm của tử và mẫu:

\(\frac{d}{dx}(2^x - x^2) = 2^x \ln 2 - 2x\)
\(\frac{d}{dx}(x - 2) = 1\)

Vậy, giới hạn trở thành:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2^x \ln 2 - 2x) = 2^2 \ln 2 - 2(2) = 4\ln 2 - 4 = 4(\ln 2 - 1)\)

Vậy đáp án đúng là \(4(\ln 2 - 1)\).