Cho chuỗi \({\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n}\). Chọn phát biểu đúng?

Chuỗi hội tụ

Chuỗi phân kỳ

Chuỗi đan dấu

Chuỗi có dấu bất kỳ

Trả lời:

Đáp án đúng: A

Xét chuỗi số \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\). Ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của chuỗi. Đặt \(a_n = {\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)} ^n\). Khi đó, \(\sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \sqrt[n]{{\left| {{{\left( {\frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}} \right)}^n}} \right|}} = \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}}\). Tính giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3n + 1}}{{{3^n}}} = 0 < 1\). Vậy, chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy.

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 10:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{2^n} + {4^n}}}}\) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

The radius of convergence, R, of the power series ∑ (x^n / (2^n + 4^n)) can be found using the ratio test or the root test. Using the root test: 1/R = lim (n→∞) |a_n|^(1/n) where a_n = 1 / (2^n + 4^n). So, 1/R = lim (n→∞) (1 / (2^n + 4^n))^(1/n) = lim (n→∞) 1 / (2^n + 4^n)^(1/n). Since 4^n < 2^n + 4^n < 2 * 4^n, we have (4^n)^(1/n) < (2^n + 4^n)^(1/n) < (2 * 4^n)^(1/n), which simplifies to 4 < (2^n + 4^n)^(1/n) < 4 * 2^(1/n). As n approaches infinity, 2^(1/n) approaches 1. Therefore, lim (n→∞) (2^n + 4^n)^(1/n) = 4. Thus, 1/R = 1/4, which implies R = 4. The radius of convergence is 4.

Câu 11:

Khai triển Maclaurin của cosx đến x⁴

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức khai triển Maclaurin của cos(x) là: cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
Trong đó, 2! = 2 * 1 = 2 và 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24. Do đó, khai triển Maclaurin của cos(x) đến x^4 là: cos(x) = 1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^5). Ở đây o(x^5) biểu thị các số hạng bậc cao hơn của x (bắt đầu từ x^5).

Câu 12:

Tính tích phân \(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Ta có:
\(I = \int {\frac{{2dx}}{{\sqrt {{x^2} + 4x + 5} }}} = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}}\)
Đặt \(x + 2 = \tan t \Rightarrow dx = \frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}\) khi đó:
\(I = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\sqrt {{\tan }^2t + 1} }}} = 2\int {\frac{{\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}}}{{\frac{1}{{\cos t}}}}} = 2\int {\frac{{dt}}{{\cos t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{{{\cos }^2}t}}} = 2\int {\frac{{\cos tdt}}{{1 - {{\sin }^2}t}}} \)
\(= \int {\left( {\frac{1}{{1 - \sin t}} + \frac{1}{{1 + \sin t}}} \right)dt} = 2\ln \left| {\frac{{1 + \sin t}}{{1 - \sin t}}} \right| + C\)
Hoặc có thể sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:
\(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln \left| {x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} } \right| + C\)
Khi đó:
\(I = 2\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} }}} = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{{(x + 2)}^2} + 1} } \right| + C = 2\ln \left| {x + 2 + \sqrt {{x^2} + 4x + 5} } \right| + C\)

Câu 13:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{2^x} - {x^2}}}{{x - 2}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{2^x} - {x^2}}}{{x - 2}}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\) khi \(x \to 2\).

Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta lấy đạo hàm của tử và mẫu:

\(\frac{d}{dx}(2^x - x^2) = 2^x \ln 2 - 2x\)
\(\frac{d}{dx}(x - 2) = 1\)

Vậy, giới hạn trở thành:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2^x \ln 2 - 2x) = 2^2 \ln 2 - 2(2) = 4\ln 2 - 4 = 4(\ln 2 - 1)\)

Vậy đáp án đúng là \(4(\ln 2 - 1)\).

Câu 14:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}}\), ta chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 3.5}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}} + 2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n = 0\), giới hạn trở thành:

\(\frac{{5.0 - 3.5}}{{100.0 + 2}} = \frac{{ - 15}}{2}\)

Vậy đáp án đúng là \(-\frac{{15}}{2}\).

Câu 15:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}}\)

Lời giải: