Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{2^x} - {x^2}}}{{x - 2}}\)

4(ln2 - 1)

ln2 - 1

Đáp án khác

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{2^x} - {x^2}}}{{x - 2}}\), ta có thể sử dụng quy tắc L'Hôpital vì giới hạn có dạng \(\frac{0}{0}\) khi \(x \to 2\). Áp dụng quy tắc L'Hôpital, ta lấy đạo hàm của tử và mẫu: \(\frac{d}{dx}(2^x - x^2) = 2^x \ln 2 - 2x\) \(\frac{d}{dx}(x - 2) = 1\) Vậy, giới hạn trở thành: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (2^x \ln 2 - 2x) = 2^2 \ln 2 - 2(2) = 4\ln 2 - 4 = 4(\ln 2 - 1)\) Vậy đáp án đúng là \(4(\ln 2 - 1)\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{5.2}^n} - {{3.5}^{n + 1}}}}{{{{100.2}^n} + {{2.5}^n}}}\), ta chia cả tử và mẫu cho \({5^n}\). Khi đó, biểu thức trở thành:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{5{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 3.5}}{{{{100{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}} + 2}}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n = 0\), giới hạn trở thành:

\(\frac{{5.0 - 3.5}}{{100.0 + 2}} = \frac{{ - 15}}{2}\)

Vậy đáp án đúng là \(-\frac{{15}}{2}\).

Câu 15:

Tính giới hạn sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}}\)

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}}\), ta có thể chia cả tử và mẫu cho \(2^n\) hoặc \(3^n\). Tuy nhiên, chia cho \(3^n\) sẽ giúp đơn giản biểu thức hơn.

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{2^n} + {3^{ - n}}}}{{{2^{ - n}} - {3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} + \frac{{{3^{ - n}}}}{{{3^n}}}}}{{\frac{{{2^{ - n}}}}{{{3^n}}} - \frac{{{3^n}}}{{{3^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{2n}}}}{{{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n} - 1}}\)

Khi \(n \to \infty \), ta có \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} \to 0\), \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2n}} \to 0\) và \({\left( {\frac{1}{6}} \right)^n} \to 0\). Do đó,

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{2n}}}}{{{{\left( {\frac{1}{6}} \right)}^n} - 1}} = \frac{{0 + 0}}{{0 - 1}} = 0\)

Vậy, giới hạn của biểu thức là 0.

Câu 16:

Hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {e^{1/x}},\,\,x \ne 0\\ 0,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \end{array} \right.\) có \({{f'}_ + }(0)\)là:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Để tìm \({{f'}_ + }(0)\), ta cần tính giới hạn của \(\frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\) khi x tiến đến 0 từ bên phải (x > 0).

Vì \(f(x) = {e^{1/x}}\) khi \(x \ne 0\) và \(f(0) = 0\), ta có:

\({{f'}_ + }(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{1/x}} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{1/x}}}}{x}\)

Đặt \(t = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to {0^ + }\), thì \(t \to + \infty \). Do đó, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{1/x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } t{e^t} = + \infty \)

Vậy, \({{f'}_ + }(0) = + \infty \).

Câu 17:

Hàm số \(f(x) = {x^2} - 3\left| x \right| + 2\) có f'(0) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối nên ta cần xét các trường hợp:
Với x > 0: f(x) = x^2 - 3x + 2, suy ra f'(x) = 2x - 3. Khi x dần tới 0 từ bên phải (x -> 0+), f'(x) dần tới -3.
Với x < 0: f(x) = x^2 + 3x + 2, suy ra f'(x) = 2x + 3. Khi x dần tới 0 từ bên trái (x -> 0-), f'(x) dần tới 3.
Vì đạo hàm bên trái và bên phải tại x = 0 không bằng nhau, nên f'(0) không tồn tại. Tuy nhiên, nếu xét riêng từng khoảng (x>0 hoặc x<0) thì có thể tính đạo hàm một phía. Do không có đáp án nào phù hợp 'không tồn tại', ta xem xét lại đề bài và các đáp án.
Nhận thấy nếu ta bỏ qua điều kiện x>0 và x<0 và thay trực tiếp x=0 vào f'(x) = 2x-3 thì ta sẽ được kết quả là -3.
Vậy, đáp án phù hợp nhất là -3.

Câu 18:

Đạo hàm cấp n của hàm sin(ax) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Công thức đạo hàm cấp n của sin(ax) là: (sin(ax))^(n) = a^n * sin(ax + n*pi/2). Vậy đáp án đúng là phương án 1.

Câu 19:

Tìm tiệm cận của hàm số: \(f(x) = \frac{x}{{1 + {e^{\frac{1}{x}}}}}\)

Lời giải: