Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{{(x + 1)}^5}}}} dx\)

\(\frac{1}{5}\)

\(\frac{1}{64}\)

\(\frac{1}{8}\)

\(\infty\)

Trả lời:

Đáp án đúng: B

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{{(x + 1)}^5}}}} dx\), ta thực hiện như sau: \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{{(x + 1)}^5}}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {{{(x + 1)}^{ - 5}}} dx\) Ta tính tích phân không xác định: \(\int {{{(x + 1)}^{ - 5}}} dx = \frac{{{{(x + 1)}^{ - 4}}}}{{ - 4}} + C = - \frac{1}{{4{{(x + 1)}^4}}} + C\) Do đó: \(\mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {{{(x + 1)}^{ - 5}}} dx = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \frac{1}{{4{{(x + 1)}^4}}}} \right]_1^b = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{4{{(b + 1)}^4}}} + \frac{1}{{4{{(1 + 1)}^4}}}} \right)\) \(= \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{4{{(b + 1)}^4}}} + \frac{1}{{4 \cdot {2^4}}}} \right) = 0 + \frac{1}{{4 \cdot 16}} = \frac{1}{{64}}\) Vậy, \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{{(x + 1)}^5}}}} dx = \frac{1}{{64}}\)

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 24:

Mệnh đề nào sau đây đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Mệnh đề đúng là: Nếu với mọi x thuộc đoạn [a, b], f(x) nhỏ hơn hoặc bằng g(x), thì tích phân từ a đến b của f(x)dx nhỏ hơn hoặc bằng tích phân từ a đến b của g(x)dx.

Các phương án khác sai vì:
- Phương án 1 sai vì nếu f(x) < g(x) thì tích phân của f(x) phải nhỏ hơn tích phân của g(x).
- Phương án 3 sai vì không có quy tắc nào cho phép so sánh tích phân của f(x)g(x) với tích phân của g(x) chỉ dựa trên f(x) <= g(x).
- Phương án 4 sai vì vế phải của suy ra bị lặp lại \(\int\limits_a^b {g(x)dx} \le \int\limits_a^b {g(x)dx} \), và biểu thức này luôn đúng chứ không phải là kết quả của giả thiết f(x) <= g(x).

Câu 25:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \), ta thực hiện các bước sau:

1. Tính tích phân không xác định:
Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} + C\), với C là hằng số tích phân.

2. Tính tích phân suy rộng:
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} \right]_1^b = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{2(2b + 3)}} + \frac{1}{{2(2.1 + 3)}}} \right)\)

3. Tính giới hạn:
Khi \(b \to + \infty \), \(\frac{1}{{2(2b + 3)}} \to 0\). Vậy,
\(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = 0 + \frac{1}{{2(2 + 3)}} = \frac{1}{{10}}\)

Vậy, tích phân suy rộng bằng \(\frac{1}{{10}}\).

Câu 26:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\), ta cần phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành các phân thức đơn giản.

Ta có: \(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}\)

Quy đồng mẫu số và giải hệ phương trình, ta tìm được: A = -1, B = 2, C = 2, D = 2.

Vậy: \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{{ - 1}}{x} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{2}{{{{(x - 1)}^3}}}} \right)} dx\)

\( = \left[ { - \ln x + 2\ln (x - 1) - \frac{2}{{x - 1}} - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right]_2^{ + \infty }\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \ln x + 2\ln (x - 1) - \frac{2}{{x - 1}} - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right]_2^b\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( { - \ln b + 2\ln (b - 1) - \frac{2}{{b - 1}} - \frac{1}{{{{(b - 1)}^2}}}} \right) - \left( { - \ln 2 + 2\ln 1 - \frac{2}{1} - \frac{1}{1}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \frac{{{{(b - 1)}^2}}}{b} - \frac{2}{{b - 1}} - \frac{1}{{{{(b - 1)}^2}}}} \right) - ( - \ln 2 - 3)\)

\( = \ln 1 - 0 - 0 + \ln 2 + 3 = 3 + \ln 2\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có thể có lỗi trong quá trình tính toán hoặc các đáp án được đưa ra không chính xác. Dù vậy, ta vẫn phải chọn một đáp án. Kết quả gần đúng nhất là đáp án (2) với \(1 - \ln 2 \approx -0.306\). Tuy nhiên, kết quả đúng phải là \(3 + \ln 2\).
Vì vậy, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu 27:

Tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \), ta sử dụng công thức tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln (x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} ) + C\). Trong trường hợp này, \(a = 3\).

Vậy, \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} = \left. {\ln (x + \sqrt {{x^2} + 9} )} \right|_{\sqrt 7 }^4 = \ln (4 + \sqrt {16 + 9} ) - \ln (\sqrt 7 + \sqrt {7 + 9} ) = \ln (4 + 5) - \ln (\sqrt 7 + 4) = \ln 9 - \ln (4 + \sqrt 7 ) = \ln \frac{9}{{4 + \sqrt 7 }} = \ln \frac{{{3^2}}}{{4 + \sqrt 7 }} = 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Vậy đáp án đúng là \( 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Câu 28:

Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} \). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}}\) (do n=1 thì biểu thức không xác định).
Nhận thấy \(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt {4n(n-1)(n+1)} }}\) luôn dương với mọi n \(\ge\) 2.
Ta có thể so sánh chuỗi này với một chuỗi p-chuỗi.
\(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} \sim \frac{1}{{\sqrt {4n^3} }} = \frac{1}{{2n^{3/2}}}\) khi n đủ lớn.
Xét chuỗi \(\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{{2n^{3/2}}}\), đây là một p-chuỗi với p = 3/2 > 1, do đó chuỗi này hội tụ.
Theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi đã cho cũng hội tụ.
Vậy, phát biểu đúng là chuỗi hội tụ.

Câu 29:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \) là:

Lời giải: