Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \)

\(\frac{1}{5}\)

\(\infty \)

\(\frac{1}{10}\)

Trả lời:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} \), ta thực hiện các bước sau: 1. **Tính tích phân không xác định:** Ta có \(\int {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} + C\), với C là hằng số tích phân. 2. **Tính tích phân suy rộng:** \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \int\limits_1^b {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \frac{1}{{2(2x + 3)}}} \right]_1^b = \mathop {lim}\limits_{b \to + \infty } \left( { - \frac{1}{{2(2b + 3)}} + \frac{1}{{2(2.1 + 3)}}} \right)\) 3. **Tính giới hạn:** Khi \(b \to + \infty \), \(\frac{1}{{2(2b + 3)}} \to 0\). Vậy, \(\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{{dx}}{{{{(2x + 3)}^2}}}} = 0 + \frac{1}{{2(2 + 3)}} = \frac{1}{{10}}\) Vậy, tích phân suy rộng bằng \(\frac{1}{{10}}\).

100+ câu trắc nghiệm Toán cao cấp A1 có đáp án - Phần 3

Bộ câu hỏi trắc nghiệm ôn thi môn Toán cao cấp A1 có đáp án dành cho các bạn sinh viên Đại học - Cao đẳng ôn thi dễ dàng hơn. Mời các bạn cùng tham khảo!

30 câu hỏi 60 phút

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 26:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Để tính tích phân suy rộng \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx\), ta cần phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành các phân thức đơn giản.

Ta có: \(\frac{{x^2 + 1}}{{x(x-1)^3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} + \frac{D}{(x-1)^3}\)

Quy đồng mẫu số và giải hệ phương trình, ta tìm được: A = -1, B = 2, C = 2, D = 2.

Vậy: \(\int\limits_2^{ + \infty } {\frac{{({x^2} + 1)}}{{x{{(x - 1)}^3}}}} dx = \int\limits_2^{ + \infty } {\left( {\frac{{ - 1}}{x} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} + \frac{2}{{{{(x - 1)}^3}}}} \right)} dx\)

\( = \left[ { - \ln x + 2\ln (x - 1) - \frac{2}{{x - 1}} - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right]_2^{ + \infty }\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left[ { - \ln x + 2\ln (x - 1) - \frac{2}{{x - 1}} - \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \right]_2^b\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( { - \ln b + 2\ln (b - 1) - \frac{2}{{b - 1}} - \frac{1}{{{{(b - 1)}^2}}}} \right) - \left( { - \ln 2 + 2\ln 1 - \frac{2}{1} - \frac{1}{1}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \left( {\ln \frac{{{{(b - 1)}^2}}}{b} - \frac{2}{{b - 1}} - \frac{1}{{{{(b - 1)}^2}}}} \right) - ( - \ln 2 - 3)\)

\( = \ln 1 - 0 - 0 + \ln 2 + 3 = 3 + \ln 2\)

Tuy nhiên, không có đáp án nào trùng với kết quả này. Có thể có lỗi trong quá trình tính toán hoặc các đáp án được đưa ra không chính xác. Dù vậy, ta vẫn phải chọn một đáp án. Kết quả gần đúng nhất là đáp án (2) với \(1 - \ln 2 \approx -0.306\). Tuy nhiên, kết quả đúng phải là \(3 + \ln 2\).
Vì vậy, không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Câu 27:

Tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tính tích phân \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} \), ta sử dụng công thức tích phân \(\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} = \ln (x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} ) + C\). Trong trường hợp này, \(a = 3\).

Vậy, \(\int\limits_{\sqrt 7 }^4 {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + 9} }}} = \left. {\ln (x + \sqrt {{x^2} + 9} )} \right|_{\sqrt 7 }^4 = \ln (4 + \sqrt {16 + 9} ) - \ln (\sqrt 7 + \sqrt {7 + 9} ) = \ln (4 + 5) - \ln (\sqrt 7 + 4) = \ln 9 - \ln (4 + \sqrt 7 ) = \ln \frac{9}{{4 + \sqrt 7 }} = \ln \frac{{{3^2}}}{{4 + \sqrt 7 }} = 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Vậy đáp án đúng là \( 2\ln \frac{3}{{4 + \sqrt 7 }}\).

Câu 28:

Cho \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} \). Chọn phát biểu đúng:

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Ta có \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}} = \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }}}\) (do n=1 thì biểu thức không xác định).
Nhận thấy \(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} = \frac{1}{{\sqrt {4n(n-1)(n+1)} }}\) luôn dương với mọi n \(\ge\) 2.
Ta có thể so sánh chuỗi này với một chuỗi p-chuỗi.
\(\frac{1}{{\sqrt {4n({n^2} - 1)} }} \sim \frac{1}{{\sqrt {4n^3} }} = \frac{1}{{2n^{3/2}}}\) khi n đủ lớn.
Xét chuỗi \(\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1}{{2n^{3/2}}}\), đây là một p-chuỗi với p = 3/2 > 1, do đó chuỗi này hội tụ.
Theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn, chuỗi đã cho cũng hội tụ.
Vậy, phát biểu đúng là chuỗi hội tụ.

Câu 29:

Bán kính hội tụ của chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \) là:

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \), ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D'Alembert (tỉ số). Gọi \(a_n = \frac{x^n}{5^n}\). Khi đó:

\(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{x^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x}{5} \right| = \left| \frac{x}{5} \right|\)

Để chuỗi hội tụ, ta cần \(\left| \frac{x}{5} \right| < 1\), tức là \(|x| < 5\). Do đó, bán kính hội tụ là r = 5.

Câu 30:

Tính tích phân suy rộng \(\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{{e^x} + \sqrt {{e^x}} }}} dx\)

Lời giải:

Đáp án đúng: D

Let \(t = \sqrt {{e^x}} \Rightarrow {t^2} = {e^x} \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx \Rightarrow dx = \frac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \frac{{2tdt}}{{{t^2}}} = \frac{{2dt}}{t}\). Change the bounds: \(\begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = + \infty \Rightarrow t = + \infty \end{array}\) Then: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2} + t}}.\frac{{2dt}}{t}} = 2\int\limits_1^{ + \infty } {\frac{1}{{{t^2}(t + 1)}}} dt = 2\int\limits_1^{ + \infty } {(\frac{1}{t} + \frac{1}{{{t^2}}} - \frac{1}{{t + 1}})} dt = 2\left. {\left( {ln\left| t \right| - \frac{1}{t} - ln\left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_1^{ + \infty } = 2\left. {\left( {ln\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right| - \frac{1}{t}} \right)} \right|_1^{ + \infty } = 2\left[ {\mathop {lim }\limits_{t \to + \infty } \left( {ln\left| {\frac{t}{{t + 1}}} \right| - \frac{1}{t}} \right) - \left( {ln\left| {\frac{1}{2}} \right| - 1} \right)} \right] = 2\left[ {0 - (ln\frac{1}{2} - 1)} \right] = 2 - 2ln\frac{1}{2} = 2 + 2ln2 \end{array}\)

Câu 1:

Tính \(\int {\cos x\cos 2xdx}\)

Lời giải: